Стандартные полиномы для эталонных моделей

При синтезе регулятора состояния требуемое качество управления задают эталонной моделью. Наиболее удобно такую модель описать в канонической форме управляемости (п.2.6)

(п.3.1)

или

. (п.3.2)

Матрица А_Э, задающая динамику синтезируемой системы с регулятором состояния, определяется, в свою очередь, через эталонное характеристическое уравнение

. (п.3.3)

Выражение (п.3.3) полностью определяет матрицу эталонной модели (п.2.6).

Для непрерывных систем в качестве эталонных характеристических уравнений используют стандартные полиномы: биномиальные, Баттерворта и минимизирующие квадратичную ошибку.

Биномиальный полином задает характеристическое уравнение, у которого все корни (полюса) действительные, отрицательные (необходимое условие устойчивости) и равны между собой

, (п.3.4)

где .

В этом случае переходные процессы будут апериодическими, а длительность процесса будет определяться величиной корней q. Чем больше это значение, тем меньше будет длительность переходного процесса. Ниже приведены показатели переходных процессов в зависимости от порядка модели

Таблица п.1

n		s, %	tПq
			4,8
			7,8

Таким образом, величину корней можно определить из заданной длительности переходного процесса. Например, для объекта третьего порядка (n=3)

.

Характеристическое уравнение, задаваемое стандартным фильтром Баттерворта, имеет корни, расположенные в левой полуплоскости корней на полуокружности радиуса q. При этом они расположены с равным угловым расстоянием p/n. В таблице п.2 приведены показатели переходных процессов в зависимости от порядка модели.

Таблица п.2

n		s, %	tПq
			4,5
			6,25
			7,0

Из сравнений таблиц п.1 и п.2 видно, что биномиальный полином определяет более качественные переходные процессы: при практически одинаковой длительности отсутствует перерегулирование. Тем не менее, фильтр Баттерворта обладает замечательным качеством: частотная характеристика в области средних частот имеет значительную крутизну, что делает перспективным его использование при синтезе регуляторов в системах с высоким уровнем зашумленности сигналов обратной связи или возмущающих воздействий.

Для получения эталонной модели при синтезе дискретного регулятора состояния используются зависимости

,

где А_Эопределяется из требований к качеству переходных процессов в непрерывной форме.