II.2. Типовые регуляторы в цифровой реализации

К типовым регуляторам относятся пропорциональные (П), интег­ральные (И), пропорционально-интегральные (ПИ) и пропорционально-интегрально-дифференциальные (ПИД) регуляторы. Цифровой И-регулятор был рассмотрен в качестве примера в §I.1. Этот регулятор является частным случаем ПИД-регулятора. Уравнение непрерывного ПИД-регулятора имеет вид

. (2.1)

Или применяя преобразование Лапласа, получим

. (2.2)

Такой регулятор наиболее часто применяется на практике. В частнос­ти, система подчиненного регулирования состоит из каскадно вклю­ченных ПИ- и П-регуляторов. Интегральная составляющая обеспечива­ет точность в установившемся режиме, П и Д-составлявшие служат для получения требуемых динамических показателей (длительности пе­реходного процесса, колебательности, величины максимального перерегулирования).

При малых значениях периода Т уравнение (2.1) можно предста­вить в виде разностного

. (2.3)

Выражение (2.3) представляет собой не рекуррентный алгоритм управления.

Как было показано ранее, для цифрового управления удобнее реализовать рекуррентный алгоритм. Для его определения найдем

.

Вычитая это уравнение из уравнения (2.3), получим

, (2.4)

где ; ; .

Согласно (2.4) Z-преобразованное выражение для дискретно­го ПИД-регулятора будет иметь вид

. (2.5)

Подчеркнем еще раз, что отличие от (2.4) состоит в том, что коэф­фициенты q₀, q₁, q₂ не зависят от длительности импульсов, т.к. они учитываются в формирующем звене, объединяемом при получении диск­ретной передаточной функции с объектом управления (см. (1.20)).

Согласно (2.5) дискретная передаточная функция регулятора

. (2.6)

Наличие полюса z = 1 говорит о том, что в установившемся режиме ошибка e(z) будет равна нулю (астатический регулятор).

В общем случае передаточная функция астатического дискретного регулятора имеет следующий вид

. (2.7)

По аналогии с выражением для непрерывного регулятора (2.2) уравнение дискретного регулятора (2.6) можно представить в следующем виде

. (2.8)

Приравнивая в (2.6) и (2.8) коэффициенты при одинаковых степенях, получим

; ; . (2.9)

Для расчета оптимальных типовых регуляторов разработаны рекомендации и стандартные соотношения. Поэтому подробно на этом вопросе останавливаться не будем. Другим важным вопросом является выбор периода квантования Т. Максимальное его значение определяется исходя из теоремы Котельникова-Шеннена. Для того чтобы непрерывный сигнал со спектром, ограниченный максимальной частотой w_max, можно было восстановить по его дискретной последовательности, необходимо соблюдение условия (см. главу 1)

,

где w_Т=2p/Т - круговая частота квантования.

При неизвестных значения спектра внешних сигналов выбор периода Т на начальном этапе проектирования можно определить, как показано в § 1.2, из условия

, (2.14)

где Т_Omin - минимальная постоянная времени непрерывной передаточной функции объекта.

Условие, при котором поведение дискретной замкнутой системы приближается к непрерывной системе, с достаточной точностью можно определить следующим неравенством

. (2.15)

Очевидно, что при соблюдении соотношения (2.15) расчет коэффициентов ПИД-регулятора можно производить по рекомендациям, разработанным для непрерывных систем управления. При переходе к дискретному алгоритму ПИД-регулятора его коэффициенты пересчитываются в соответствии с зависимостями (2.12).

Структурная схема регулятора, соответствующая алгоритму уравнения (2.4) или (2.8), представлена на рис.2.1. С целью ограничения начального броска управляющего воздействия с выхода регулятора при резком изменении задающего сигнала u_з(z), чаще применяют модифицированный алгоритм, структурная схема которого представлена на рис. 2.2.

Рис.2.1. Система с дискретным ПИД-регулятором