Методические указания по подготовке к работе

При решении задач коррекции систем автоматического управления, а также сглаживания, прогнозирования, дифференцирования, интегрирования, оптимальной фильтрации и других задач динамической обработки сигналов часто возникает необходимость включения в автоматическую систему элементов с требуемыми вполне определенными динамическими свойствами. В настоящее время стало эффективным использование в качестве таких элементов цифровых фильтров, реализованных на микроЭВМ или специализированных вычислительных модулях [2].

Линейный алгоритм цифрового фильтра задается рекуррентным соотношением вида

где коэффициенты a_i, b_j могут иметь положительные, отрицательные или нулевые значения в пределах разрядной сетки вычислителя.

Определим дискретную передаточную функцию вычислителя как отношение z-преобразований выходной и входной последовательностей:

,

где

С учетом свойства линейности z-преобразования и теоремы запаздывания [1, 3] дискретная передаточная функция может быть записана в виде

Дискретная передаточная функция полностью характеризует линейный алгоритм работы фильтра. В общем случае этот алгоритм соответствует рекурсивному цифровому фильтру m-го порядка, который вырождается в нерекурсивный при a₁ = … = a_m = 0.

При входном воздействии, описываемом единичной импульсной функцией

изменение выходной величины x₂[k] соответствует решетчатой весовой функции w[k]. Решетчатую переходную характеристику фильтра h[k] определяют при входном воздействии, описываемом единичной ступенчатой функцией x₂[k] = 1[k]. Поскольку Z{d₀[k]} = 1, Z{1[k]} = z/(z – 1), справедливы соотношения

Нетрудно показать [1, 4], что импульсная характеристика нерекурсивного фильтра может быть определена как w[k] = b_k. Очевидно, что в реальном фильтре знаменатель передаточной функции содержит конечное число слагаемых, поэтому импульсная характеристика нерекурсивного фильтра является конечной по длительности. Это обусловило еще одно название таких фильтров – фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры). Вследствие отсутствия обратных связей любой нерекурсивный фильтр является устойчивым – при отсутствии сигнала на его входе (x₁[k] = 0) выходной сигнал будет отличен от нуля в течение не более m тактов. Простота анализа и реализации КИХ-фильтров привели к их широкому использованию на практике. Однако для получения хороших частотных характеристик зачастую необходимы нерекурсивные фильтры высокого порядка – до нескольких сотен и даже тысяч [1].

Наличие в фильтре обратных связей позволяет получать желаемые частотные характеристики с использованием фильтров невысокого порядка. Такие фильтры реализуют бесконечную импульсную характеристику, поэтому их также называют фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтрами). По этой же причине рекурсивные фильтры могут быть неустойчивыми.

Помимо исследования импульсной и переходной характеристик, анализ цифровых фильтров может быть также произведен в частотной области. Частотная передаточная функция фильтра определяется как амплитудно-частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ) характеристики представляют собой соответственно модуль и аргумент частотной передаточной функции:

Поскольку АЧХ и ФЧХ цифровых фильтров являются периодическими функциями частоты с периодом 2p/T, достаточно рассмотреть их поведение на интервале частот [–p/Т; p/Т]. Кроме того, поскольку АЧХ является четной функцией, а ФЧХ – нечетной, можно ограничиться интервалом [0; p/Т]. При этом для устранения зависимости частотных характеристик от периода дискретности T вводят в рассмотрение нормированную частоту w_н = wT/p. Изменению круговой частоты w от нуля до p/Т соответствует изменение нормированной частоты от нуля до единицы.