Методические указания по подготовке к работе

Временная реализация сигнала несет в себе большое количество информации, которая для невооруженного глаза незаметна. Часть этой информации может приходиться на слабые компоненты, величина которых зачастую недостаточна для их выявления непосредственно по реализации. Тем не менее, подобные слабые компоненты могут быть важны при описании сигналов. Для их обнаружения и изучения часто на практике применяют частотный, или спектральный, анализ. Спектральный анализ эквивалентен преобразованию сигнала из временной области в частотную. Для такого перехода традиционно используется преобразование Фурье:

где x(t) – непрерывный сигнал, S_н(w) – его спектр. В том же случае, когда сигнал x(t) представлен своими дискретными отсчетами x[k] = x(kT), спектральную функцию находят в виде

где T – период дискретности. Следует отметить, что спектр дискретного сигнала имеет размерность, совпадающую с размерностью сигнала, в то время как размерность спектра непрерывного сигнала равна размерности сигнала, умноженной на секунду.

Можно показать [1], что спектр дискретизированного сигнала (рис. 1) представляет собой бесконечную сумму копий спектра исходного непрерывного сигнала, смещенных друг относительно друга на частоту дискретизации w_д = 2p/T:

Рис. 1. Амплитудный спектр дискретизированного сигнала

Рис. 1 демонстрирует и способ восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам. Для этого необходимо пропустить дискретный сигнал через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. АЧХ такого фильтра показана на рис. 1 штриховой линией.

Очевидно, что точное восстановление сигнала возможно, если смещенные копии спектра не перекрываются. Из рис. 1 видно, что для этого необходимо, чтобы частота дискретизации как минимум в два раза превышала верхнюю граничную частоту в спектре сигнала.

Исходя из вышесказанного, сформулируем теорему Котельникова: любой сигнал x(t), спектр которого не содержит составляющих с частотами выше некоторого значения w_в, может быть без потерь информации представлен своими дискретными отсчетами x[k], взятыми с интервалом T £ p/w_в.

Заметим, что сигналы с ограниченным по частоте спектром имеют важное свойство – они имеют бесконечную длительность. Следовательно, для восстановления непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам необходимым условием является бесконечное время наблюдения.

Алгоритм восстановления непрерывного сигнала сводится к вычислению бесконечного ряда вида [1]