Отображение в пространстве

Трехмерное вращение

Сдвиг

Трехмерное изменение масштаба

Трехмерное преобразование и проекции

Введем трехмерные координаты. Точка (X, Y, Z, H) представляется в четырехмерном пространстве (x, y, z, 1).

Преобразование неоднородных координат (X, Y, Z, H) в однородные (x, y, z, 1) производится через матрицу Т.

(X, Y, Z, H) = (x, y, z, 1) * Т

Рассмотрим частные случаи для данного четырехмерного преобразования.

Частное изменение масштаба:

Данное преобразование производит частное изменение масштаба.

Общее изменение масштаба получается засчет использования четвертого диагонального элемента.

, , .

Недиагональные элементы левой верхней подматрицы 3*3 в общем матричном преобразовании 4*4 осуществляют сдвиг в трех измерениях и имеют вид:

Рассмотрим несколько частных случаев вращения.

При вращении вдоль оси X, размеры вдоль оси X не изменяются.

Т.о. матрица преобразований будет иметь нули в первой строке и столбце за исключением единицы на главной диагонали.

θ - угол вращения вокруг оси X

Вращение положительно по часовой стрелке, если смотреть вдоль оси вращения с начала координат.

Для выражения на угол около оси Y нули ставятся во второй строке и столбце матрицы преобразования, за исключением единицы на главной диагонали.

Матрица примет вид:

Аналогична матрица преобразований на угол ψ около оси Z:

Т.к. вращение описывается умножением матриц, то трехмерное вращение не коммутативно, т.е. порядок умножения будет влиять на конечный результат.

Иногда требуется выполнить зеркальное отображение трехмерного объекта.

Рассмотрим частные случаи этого отображения.

Матрица преобразований плоскости XY будет иметь вид:

Дальнейшее преобразование (XZ и YZ) можно получить разными способами: путем вращения и отображения или просто отображением.

Для отображения YZ:

Для отображения XZ: