Задача №15

Возвести число А в натуральную степень n за как можно меньшее количество умножений.

Можно, конечно, число A умножить само на себя n-1 раз, но для этого надо выполнить n-1 операцию умножения. Рассмотрим метод, требующий меньшего числа умножений (он, однако, не всегда дает минимальное число умножений).

Если n - четное, n=2m то будем вычислять Aⁿ, используя тождество A^am=(A^m)²;

если же n=2m+1, то

A^2m+1=(A^2m)*A=((A^m)²)*A.

Так(м образом, возведение A в 13 степень будет выглядеть следующим образом:

(A¹³)=((A⁶)²)*A=(((A³)²)²)*A=(((A*A*A)²)²)*A

и вычисление требует 5 операций умножения.

Используя данный метод, для возведения в степень n потребуется порядка log₂(n) операций умножения.

Программа на Паскале может выглядеть так:

var A,N: integer;function power(N: integer): integer;beginif N>1then if odd(N) {N нечетно?}then power:=SQR(power(N div 2))*A else power:=SQR(power(N div 2))else power:=Aend;beginread(A,N);writeln(power(N));

end;

Можно ту же самую идею реализовать и по другому ( далее мы приводим выдержку из книги Д.Кнута "Искусство программирования для ЭВМ", т.2, с.482):

"Запишем n в двоичной системе счисления и заменим в этой записи каждую цифру "1" парой букв SX, а каждую цифру "0" - буквой S, после чего вычеркнем крайнюю левую пару букв SX. Результат, читаемый слева направо, превращается в правило вычисления xⁿ, если букву "S" интерпретировать как операцию возведения в квадрат, а букву "X" - как операцию умножения на x. Например, если n=23, то его двоичным представлением будет 10111; строим последовательность SX S SX SX SX, удаляем из нее начальную пару SX и в итоге получаем следующее правило вычисления: S SX SX SX. Согласно этому правилу, мы должны "возвести x в квадрат, затем снова возвести в квадрат, затем умножить на x, возвести в квадрат, умножить на x, возвести в квадрат и, наконец, умножить на x"; при этом мы последовательно вычисляем x², x⁴, x⁵, x¹⁰, x¹¹, x²², x²³.

Этот "бинарный метод" легко обосновать, рассмотрев последовательность получаемых в ходе вычисления показателей: если "S" интерпретировать как операцию умножения на 2, а "X" - как операцию прибавления 1 и если начать с 1, а не с x, то наше правило дает нам в соответствии со свойствами двоичной системы счисления число n".

Приведенный метод не дает минимального числа операций умножения. Для вычисления x²³ нам, по изложенному выше методу, потребуется 7 операций умножения. В действительности их необходимо только 6:

x -> x² -> x³ -> x⁵ -> x¹⁰ -> x²⁰ -> x²³.