Описание поверхности методом Кунса

Описание поверхности в форме Фергюсона

Уравнение полиноминальной поверхности в форме Безье

Поверхность получаемая полиномом Лагранжа

Простейший алгоритм построения поверхности, по исходному точечному базису заключается в обобщении метода Лагранжа для нахождения полинома, который будет интегрировать все заданные точки.

Этот полином имеет вид:

Недостаток данного способа:

При достаточно больших значениях p и q построенных таким образом поверхности, появляется нежелательная осцилляция, с которой борются уменьшением количества ячеек (точек), описывающим данный полином, это влечет за собой понижение степени полинома, описывающее данную поверхность.

Уравнение полиноминальной поверхности в форме Безье имеет вид:

r_ij – вершина характерного многогранника

m – число вершин по направлению движения v

n - число вершин по направлению движения u

i – текущая вершина по направлению u

j – текущая вершина по направлению v.

Пусть кривая l представлена уравнением:

Непрерывно движется в трехмерном пространстве в направлении и изменяет свою форму в процессе этого движения.

В результате получим поверхность представляющую собой каркас из l₁, l₂, l₃ … кривых.

Для вывода уравнения поверхности можно обобщить способ задания кривой путем установления зависимостей коэффициентов a₀, a₁, a₂, a₃ от второго параметра v.

Тогда уравнение поверхности будет:

Или в другом виде:

Пусть дан на прямоугольной области сетчатый каркас поверхности.

Заданная ячейка поверхности находится в пределах:

и представляет собой исходную часть поверхности, ограниченную четырьмя исходными границами. Форрест предложил наглядную трактовку поверхности Кунса.

Данный алгоритм состоит в следующем:

Для задания ячейки поверхности решается в начале более простая задача (одна из пар кривых является линейчатой).

Тогда для этой поверхности функция имеет вид:

Аналогично построим для этого же элемента линейчатости поверхность, ограниченную параметрами.

Сумма r₁ и r₂ дает новую поверхность у которой граничные кривые будут являться уравнениями кривой и прямого отрезка.

Для восстановления начальных исходных граничных кривых необходимо из уравнения вычесть скалярную линейную поверхность, границами которой служат эти прямолинейные отрезки.

Тогда результирующая поверхность определяется как: