Управление ресурсами в ОС UNIX

Ниже приведён фрагмент оформления содержательной части отчёта по лабораторной работе №1.

Задача 1.1.0.Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: , , ..., где , . Найти сумму по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и теоретически определить количество слагаемых N₀, необходимых для приближённого вычисления ряда с m верными цифрами. Затем, вычисляя частичные суммы , экспериментально определить количество членов суммы M, требуемое для вычисления результата с верными цифрами, сравнить с теоретическим значением и объяснить результаты.

1. Аналитическое решение задачи:

Воспользуемся известными формулами для геометрической прогрессии: общий член геометрической прогрессии имеет вид: , сумма членов бесконечно убывающей прогрессии вычисляется по формуле

.

Для определения количество слагаемых N₀, необходимых для приближённого вычисления ряда с m верными цифрами, воспользуемся формулой для N-го остатка ряда

В нашем случае 9 верным цифрам соответствует абсолютная погрешность . Поэтому, решая неравенство , получаем

.

Так как это число должно быть целым, то .

Первая часть задачи решена.

2. Теоретический материал. Пусть — точное значение, — приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина . Относительной погрешностью значения (при 0) называется величина . Так как значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида: . Величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Введем функцию . Тогда абсолютную погрешность можно определить с помощью функции .

Результаты вычислительного эксперимента:

Значение частичной суммы ряда Величина абсолютной погрешности Количество верных цифр

S(10) = –29.8945716305070026 14.34 0

S(100) = –22.905119322686712 7.35 1

S(1000) = –15.566746027773268 0.0092 4

S(10000) = –15.557562983037462 0.00000000000023 14

Так как по условию результат должен содержать 9 верных цифр, величина абсолютной погрешности не должна превышать значения 10^-7.

Проведем дополнительные эксперименты:

S(2500) = –15.557563116203328 0.00000014 8

S(2520) = –15.55756309780658 0.00000012 8

S(2538) = –15.557563083456298 0.000000101 8

S(2539) = –15.557562883361678 0.000000099 9

Вычислим относительную погрешность найденного результата:

.

Ответ:

Значение суммы геометрической прогрессии, вычисленное по аналитической формуле, равно

.

Теоретическое значение числа слагаемых, достаточного для достижения абсолютной погрешности 10^-7, равно 2540.

Сумма 2539 слагаемых дает 9 верных значащих цифр. Относительная погрешность этого значения равна

.

Управление ресурсами в ОС UNIX