ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 2]. Варианты к задачам 1.2-1.3 даны в ПРИЛОЖЕНИИ 1.A. Отчет по лабораторной работе оформляется на листах формата А4. Первый лист — титульный. На нём указываются фамилия студента, номер группы, тема лабораторной работы, номер варианта и номера выполняемых задач. Далее оформляется отчёт по каждой задаче, включающий в себя: постановку задачи, необходимый теоретический материал, решение задачи. В конце отчёта прилагается листинг программы и, если задание выполняется на языке программирования, после неё — распечатка результатов работы программы.

Задача 1.1. Для пакета MATHCAD найти значения границы машинного нуля, границы машинной бесконечности и машинного эпсилон.

Задача 1.2.Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: , , ,...

Найти сумму по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и теоретически определить количество слагаемых N₀, необходимых для приближённого вычисления ряда с m верными цифрами. Затем, вычисляя частичные суммы , экспериментально определить количество членов суммы M, требуемое для вычисления результата с m верными цифрами, сравнить с теоретическим значением и объяснить результаты.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

1. Задать последовательность значений , , ,…, ,… по формуле общего члена прогрессии.

2. Найти сумму Z аналитически по формуле суммы бесконечно убывающей прогрессии.

3. Теоретически определить количество слагаемых, необходимых для нахождения суммы ряда с m верными цифрами, исходя из формулы N-го остатка ряда.

4. Используя функцию , вычислить значения конечного числа слагаемых, задавая , 10², …, 10⁶. Для каждого N вычислить величину абсолютной погрешности и определить количество верных цифр в S(N). Пользуясь полученными результатами, определить, при каком значении количества членов ряда M результат S(M) содержит m верных цифр.

5. Вычислить относительную погрешность величины S(M) .

6. Оформить отчёт по задаче.

Задача 1.3.Решить задачу 1.2 на алгоритмическом языке (пп. 4–6 из порядка решения задачи 1.2) и сравнить результаты обеих задач.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.А

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1

ВНИМАНИЕ! Номер варианта вычисляется так:

I — для групп C-1,2-10;

30 + I и 60 + I — соответственно для групп С-4-10 и С-8-10.

Здесь I – индивидуальный номер по журналу.

Таблица к задаче 1.2

N		N		N
1.2.1		1.2.26		1.2.51
1.2.2		1.2.27		1.2.52
1.2.3		1.2.28		1.2.53
1.2.4		1.2.29		1.2.54
1.2.5		1.2.30		1.2.55
1.2.6		1.2.31		1.2.56
1.2.7		1.2.32		1.2.57
1.2.8		1.2.33		1.2.58
1.2.9		1.2.34		1.2.59
1.2.10		1.2.35		1.2.60
1.2.11		1.2.36		1.2.61
1.2.12		1.2.37		1.2.62
1.2.13		1.2.38		1.2.63
1.2.14		1.2.39		1.2.64
1.2.15		1.2.40		1.2.65

1.2.16		1.2.41		1.2.66
1.2.17		1.2.42		1.2.67
1.2.18		1.2.43		1.2.68
1.2.19		1.2.44		1.2.69
1.2.20		1.2.45		1.2.70
1.2.21		1.2.46		1.2.71
1.2.22		1.2.47		1.2.72
1.2.23		1.2.48		1.2.73

1.2.24		1.2.49		1.2.74
1.2.25		1.2.50		1.2.75

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.В

Ниже приведён фрагмент оформления содержательной части отчёта по лабораторной работе №1.

Задача 1.1.0.Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: , , ..., где , . Найти сумму по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и теоретически определить количество слагаемых N₀, необходимых для приближённого вычисления ряда с m верными цифрами. Затем, вычисляя частичные суммы , экспериментально определить количество членов суммы M, требуемое для вычисления результата с верными цифрами, сравнить с теоретическим значением и объяснить результаты.

1. Аналитическое решение задачи:

Воспользуемся известными формулами для геометрической прогрессии: общий член геометрической прогрессии имеет вид: , сумма членов бесконечно убывающей прогрессии вычисляется по формуле

.

Для определения количество слагаемых N₀, необходимых для приближённого вычисления ряда с m верными цифрами, воспользуемся формулой для N-го остатка ряда

В нашем случае 9 верным цифрам соответствует абсолютная погрешность . Поэтому, решая неравенство , получаем

.

Так как это число должно быть целым, то .

Первая часть задачи решена.

2. Теоретический материал. Пусть — точное значение, — приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина . Относительной погрешностью значения (при 0) называется величина . Так как значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида: . Величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Введем функцию . Тогда абсолютную погрешность можно определить с помощью функции .

Результаты вычислительного эксперимента:

Значение частичной суммы ряда Величина абсолютной погрешности Количество верных цифр

S(10) = –29.8945716305070026 14.34 0

S(100) = –22.905119322686712 7.35 1

S(1000) = –15.566746027773268 0.0092 4

S(10000) = –15.557562983037462 0.00000000000023 14

Так как по условию результат должен содержать 9 верных цифр, величина абсолютной погрешности не должна превышать значения 10^-7.

Проведем дополнительные эксперименты:

S(2500) = –15.557563116203328 0.00000014 8

S(2520) = –15.55756309780658 0.00000012 8

S(2538) = –15.557563083456298 0.000000101 8

S(2539) = –15.557562883361678 0.000000099 9

Вычислим относительную погрешность найденного результата:

.

Ответ:

Значение суммы геометрической прогрессии, вычисленное по аналитической формуле, равно

.

Теоретическое значение числа слагаемых, достаточного для достижения абсолютной погрешности 10^-7, равно 2540.

Сумма 2539 слагаемых дает 9 верных значащих цифр. Относительная погрешность этого значения равна

.