Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
В основе метода Эйлера (метод ломаных) лежит идея графического построения решения дифференциальных уравнений, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Выбрав достаточно малый шаг h, строится система равноотстоящих точек .
В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формулам:
.
При этом искомая интегральная кривая , проходящая через точку, заменяется ломанной с вершинами ; каждое звено этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку
y
Пример
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Решение ОДУ имеет вид:
|
|
0.0
| 1.000
|
0.1
| 1.100
|
0.2
| 1.219
|