Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений осуществляется при помощи функций ode23 и ode45. Функция ode23 осуществляет интегрирование численным методом Рунге-Кутта 2-го порядка, а с помощью метода 3-го порядка контролирует относительные и абсолютные ошибки интегрирования на каждом шаге и изменяет величину шага интегрирования так, чтобы обеспечить заданные пределы ошибок интегрирования. При использовании функции ode45 интегрирование осуществляется методом Рунге-Кутта 4-го порядка, а величина шага контролируется методом 5-го порядка.

Система дифференциальных уравнений должна быть представлена в форме Коши:

(1.1)

где y – вектор переменных состояния системы, t – аргумент (обычно время), f– нелинейная вектор-функция от переменных состояния у и аргумента t.

Обращение к процедурам численного интегрирования имеет вид:

[t, y] = ode23(‘<имя функции>’, tspan, y0, options)

[t, y] = ode45(‘<имя функции>’, tspan, y0, options),

где <имя функции> - имя M-файла, являющегося функцией Matlab от t и y, в котором вычисляется вектор функция f(y,t), т.е. правые части системы дифференциальных уравнений; tspan – вектор задающий интервал интегрирования [t0 tfinal], t0 – начальное значение интервала, tfinal – конечное; yo – вектор начальных условий; options – строка параметров, определяющих значения допустимой относительной и абсолютной погрешности интегрирования. Этот параметр можно не указывать, если пользователя устаивают значения погрешностей, заданных по умолчанию, т.е. относительная погрешность интегрирования 1.0e-3, а абсолютная (по каждой из переменных состояния) – 1.0e-6. В противном случае, перед обращением к процедуре ode23 следует указать значения погрешностей при помощи процедуры odeset.

Результатом интегрирования является матрица проинтегрированных значений фазовых переменных y, в которой каждый столбец соответствует одной из переменных состояния, а строка содержит значения перменных состояния, соответствующих определенному шагу интегрирования, т.е. значению вектора t.

Рассмотрим пример:

Пусть задана система обыкновенных дифференциальных уравнений:

Для интегрирования данной системы уравнений необходимо создать М-файл, который является функцией переменных t и y. Для создания файла воспользуемся редактором MATLAB Editor/Debugger, который вызывается из основного меню File – New – M-File. Текст файла:

function dy=rigid(t,y)

dy=zeros(3,1);

dy(1)=y(2)*y(3);

dy(2)=-y(1)*y(3);

dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);

Название файла и функции должны совпадать. Файл надо сохранить с названием rigid.

В этом примере абсолютная и относительная погрешность задается при помощи команды odeset, время интегрирования зададим в интервале от 0 до 12 [0 12], вектор начальных условий [0 1 1]. Для осуществления процедуры интегрирования в рабочем пространстве Matlab необходимо набрать:

» options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);

» [t,y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1],options);

Чтобы просмотреть результаты в рабочем пространстве Matlab необходимо ввести в командной строке y. Графически результаты выводятся при помощи команды plot:

» plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.').