Статистический анализ

В процессе моделирования было проведено 50 серий по 50 опытов. Общая сумма опытов равняется 2500. Не все опыты в ходе проведения моделирования были успешными. Это видно из данных, полученных в ходе моделирования, приведенных в приложении В.

Проведем анализ данных по следующим критериям:

1) Математическое ожидание:

, (3.1)

где n = 50 - объем выборки;

- значение исследуемого параметра (расход греющего пара), полученное в -ом эксперименте.

Математическое ожидание при большом числе испытаний равно среднему арифметическому наблюдаемых значений. Оно показывает, к чему должны стремиться результаты опытов в каждом эксперименте.

Данный расчет показывает, что все значения опытов данной серии должны стремиться к результату =3,4706.

2) Дисперсия является числовой характеристикой рассеивания, разброса случайной величины относительно ее математического ожидания.

Дисперсия находится по формуле:

(3.2)

Дисперсия позволяет оценить среднее отклонение случайной величины от математического ожидания, которое для данной серии составляет 0,00039332

3) Среднеквадратичное отклонение:

(3.3)

Среднеквадратичное отклонение это мера стабильности экспериментальных результатов. Сравнивая стандартные отклонения, вычисленные для однотипных вариационных рядов, можно определить, где рассеяние значений признака вокруг среднего арифметического больше. Для данной серии рассеяние относительно среднего арифметического составляет 0,0198322.

4) Коэффициент вариации показывает, насколько среднее арифметическое полно представляет свой вариационный ряд. При одинаковых средних арифметических значениях у двух вариационных рядов более представительным является среднее арифметическое того из них, коэффициент вариации которого меньше.

(3.4)

%

3.2 Корреляционный анализ

Корреляция является признаком, указывающим на взаимосвязь ряда численных последовательностей. Корреляционный анализ устанавливает, насколько тесна связь между двумя и более случайными величинами. Этот анализ сводится к оценке разброса случайной величины относительно среднего значения. Парная корреляция характеризует взаимосвязь двух последовательностей и .

(3.5)

Если коэффициент корреляции |Р| ≈ 1 имеет место функциональная линейная зависимость вида:

у = b₀+b₁· x (3.6)

В противном случае, если |Р| << 1, то между случайными переменными линейная зависимость отсутствует. Случай, когда 0 < |Р| <1 соответствует наличию линейной корреляции с рассеянием.

С помощью программного пакета Microsoft Excel получим значения коэффициентов корреляции на основании экспериментальных данных (Приложение В):

Для случайной пары величин начальной концентрации и расхода греющего пара коэффициент корреляции равен 0,326. График корреляции для случайной пары величин начальной концентрации и расхода греющего пара (рисунок 3.1) свидетельствует о взаимной независимости случайных переменных, исследуемых в данном случае.

Рисунок 3.1 – График корреляции для случайной пары величин начальной концентрации и расхода греющего пара

Для случайной пары величин конечной концентрации и расхода греющего пара коэффициент корреляции равен 0,987. Так как 0,987>0, то мы имеем положительную корреляцию.

Рисунок 3.2 – График корреляции для случайной пары величин конечной концентрации и расхода греющего пара

Таким образом, существует линейная зависимость вида (3.6) между конечной концентрацией сгущенного молока и расходом греющего пара. Иначе говоря, для того чтобы получить на выходе большую концентрацию содержания сухих веществ в сгущенном молоке необходимо подавать большее количество греющего пара.

3.3 Регрессионный анализ

Регрессионный анализ проводится с целью определения коэффициентов линейной эмпирической зависимости, описывающей экспериментальные данные так, чтобы обеспечить наименьшую среднеквадратичную погрешность, а именно разность между прогнозируемой моделью и данными эксперимента. Этот вид анализа дает возможность построить модель, наилучшим образом соответствующую набору данных, полученному в результате машинного эксперимента.

Корреляционный анализ, выполненный ранее, выявил, что наиболее тесная зависимость наблюдается между значениями конечной концентрации сгущенного молока и расходом греющего пара. В остальных случаях речь идет скорее о взаимной независимости случайных величин. С помощью программы Microsoft Excel были рассчитаны коэффициенты линейной регрессии b₀ , b₁ для входного и выходного ряда данных, на основании которых получена линейная зависимость вида:

(3.7)

наиболее точно описывающая полученные данные.

Параметры находятся следующим образом:

(3.8)

(3.9)

где i – номер опыта;

x – случайная величина;

y – значение опыта;

N – число опытов.

При расчетах получено следующее выражение, описывающее зависимость расхода греющего пара от конечной концентрации сгущенного молока:

=1,092981 + 0,033966·х_к (3.10)

Данная функция описывает исходные данные с наименьшей среднеквадратичной погрешностью σ = 0,003259.

График функции регрессии представлен на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 – График линии регрессии для расхода греющего пара в зависимости от конечной концентрации

График линии регрессии отображает линейную зависимость расхода греющего пара от конечной концентрации. Другими словами он представляет собой усредненные значения полученных случайных величин.

При расчетах коэффициентов линии регрессии для расхода греющего пара в зависимости от начальной концентрации получили следующее уравнение линии регрессии:

Y=3.215348+0.011179·x_н (3.11)

График линии регрессии для расхода греющего пара в зависимости от начальной концентрации представлен на рисунке 3.4

Рисунок 3.4 – График линии регрессии для расхода греющего пара в зависимости от начальной концентрации

График линии регрессии отображает нелинейную зависимость расхода греющего пара от начальной концентрации.

В итоге регрессионного анализа мы получили систему уравнений (3.12), которая должна соответствовать уравнению линии регрессии полученной при составлении полного факторного эксперимента (2.17):

(3.12)

Решив данную систему, получим следующее уравнение:

Y=2.154079+0.0055895·x_н+0.016983·x_к (3.13)

Проанализировав уравнения (2.17) и (3.13) можно сделать вывод, что если в уравнении (2.17) не учитывать член, содержащий х_н·х_к в виду некоррелированности факторов при проведении ПФЭ, то эти уравнения выражают одну и туже зависимость.[]