Выбор и обоснование модели моделирования

Процесс, происходящий в данной технологической схеме, является процессом обслуживания потока сырья (молочно-сахарной смеси) и получения готового продукта (сгущенного молока). Полученное уравнение материального баланса (2.7) устанавливает однозначное функциональное соответствие между входными переменными (начальной и конечной концентраций продукта) и выходной величиной (расход греющего пара). Эта зависимость была установлена на основании физических законов, представляющих процесс выпаривания (материальные балансы по исходным продуктам (уравнение (2.1)) и по содержанию сухих веществ (уравнение (2.2)), а также уравнение теплового баланса (2.3)). [2]

Таким образом, на основании вышеизложенного можно предположить, что мы имеем дело с детерминированной математической моделью исследуемого процесса.

По характеру режима функционирования объекта модель будет являться статической, поскольку были приняты допущения о незначительном изменении некоторых величин во времени (разность энтальпий (ΔН), массовый расход молочно-сахарной смеси (G_н) и удельная теплота испарения (r)), в виду чего будем считать их константами. А определяющие величины (начальная (х_н) и конечная (х_к) концентрации) изменяются независимо от времени случайным образом в некотором заданном диапазоне (х_н=22–24 %, х_к=69–71 %).

На рисунке 2.2 представлена концептуальная модель процесса приготовления сгущенного молока с сахаром.

Рисунок 2.2 – Концептуальная модель процесса производства сгущенного молока с сахаром

Поток входящих заявок на обслуживание W1 (молочно-сахарная смесь) поступает на обслуживание в накопитель Н1 (первый вакуум-выпарной аппарат) с каналом обслуживания К1 (греющий пар). Далее, благодаря каналу обслуживания К3 (вакуум-насос) поток заявок U1 поступает на обслуживание в накопитель Н2 (второй вакуум-выпарной аппарат) с каналом обслуживания К2 (вторичный пар из первого корпуса). Затем через канал обслуживания К4 (насос откачки готового продукта) получаем конечный продукт Y1 (сгущенное молоко). Анализатор А осуществляет контроль концентрации готового продукта.

2.3 Планирование эксперимента. Полный факторный эксперимент

Целью проведения эксперимента является сбор необходимой статистической информации об объекте для установления количественных и качественных связей в массовых явлениях и построения стохастических моделей, отражающих связи между различными факторами и свойствами объекта. При пассивном (традиционном) эксперименте ставится большая серия опытов с поочередным варьированием каждой переменной и последующей статистической обработкой данных методами регрессионного и корреляционного анализов. Активный эксперимент ставится по заранее составленному плану, предусматривающему одновременное изменение всех параметров, влияющих на процесс, и установление характеристик взаимодействия параметров при ограниченном числе опытов.

Эксперимент проводится в целях отыскания условий протекания процессов, обеспечивающих оптимальное значении выбранного параметра (экстремальная задача), и построения интерполяционной формулы для предсказания значений изучаемого параметра, зависящего от ряда факторов (интерполяционная задача).

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней n независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций N = 2ⁿ определяет тип ПФЭ. Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру. [2]

Сущность факторного эксперимента состоит в одновременном варьировании всех факторов по определенному плану и использовании результата эксперимента для определения коэффициентов b₀, b₁, b₂, b₁₂ уравнения регрессии:

y=b₀+b₁x_н+b₂x_к+b₁₂x_нx_к (2.9)

где X_i – факторы (начальная и конечная концентрации i=к, н).

Введем понятие нижнего Xi_Н и верхнего Xi_В уровня фактора х_i. В данном случае X_НН=22%, Х_КН=69%, Х_НВ=24, Х_КВ=71%. Рассмотрим также понятие нулевого уровня фактора х_i. Прибавление интервала варьирования Dх_i к нулевому уровню дает верхний уровень, а вычитание - нижний. Обычно верхние и нижние уровни факторов обозначаются символами «+1» и «-1», что соответствует кодированию факторов по формуле:

(2.10)

где x_i0 – значение в центре плана (нулевой фактор);

x_i – значение переменной величины;

Dx – значение интервала варьирования.

Для рассматриваемого примера Х_Н0=23%, Х_К0=70%, Dх_Н=1% и Dх_К=1%. Кодирование будет следующее: Х_НВ= +1; Х_КВ= +1; Х_НН= -1; Х_КН=-1.

Кодирование факторов означает переход от системы координат в натуральных единицах к системе координат в кодированной форме. Каждая точка факторного пространства (+1; +1), (+1;-1), (-1; +1), (-1; -1) это опыт в исследованиях.

В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если каждый из n факторов варьируется на двух уровнях, то получается ПФЭ типа 2n. Запись всех комбинаций факторов в кодированной форме образует матрицу планирования. Таблица 2.1 является матрицей планирования для двух факторов на двух уровнях.[2]

Перейдем от системы координат в натуральных единицах к системе координат в кодированной форме.

Рисунок 2.3 – Исходная СК

Рисунок 2.4 – Кодированная СК

В матрице приведены результаты J_j1,...,J_jm в опытах и среднее значение по i-ой строке матрицы, х₀ - столбец значений фиктивной переменной.

Таблица 2.1 – Матрица планирования

(2.11)

где b_J – значение коэффициентов уравнения регрессии;

m – количество опытов;

Y – значение результатов в опытах;

х – значение переменной величины.

Для установления зависимости выходной величины (расход греющего пара) от входных величин (начальная и конечная концентрации молочно-сахарной смеси) необходимо составить уравнение регрессии для выходной величины y по двум факторам:

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂ (2.12)

Для этого рассчитаем коэффициенты уравнения регрессии по формуле (2.11):

b₀=(2.194+2.161+2.287+2.257)/4=2.225 (2.13)

b₁=(2.194+2.161-2.287-2.257)/4= -0.047 (2.14)

b₂=(2.194-2.161+2.287-2.257)/4=0.016 (2.15)

b₁₂=(2.194-2.161-2.287+2.257)/4=0.00075 (2.16)

y=2.225-0.047x₁+0.016x₂+0.00075x₁x₂ (2.17)

Формула (2.17) – это уравнение регрессии для выходной переменной y. Она выражает зависимость выходной величины y (расход греющего пара) от 2-х факторов входной величины (начальной и конечной концентраций молочно-сахарной смеси).