Решение задачи

Подставляя (1) и (2) в (3), получим:

а pn - b = - c pn+1 + g.

Введем новые положительные константы:

A = a/c>0, B = (b/c + g/c) > 0

Приходим к соотношению:

pn+1 = B - A pn

Это уравнение представляет некоторое линейное рекуррентное соотношение, которое позволяет построить последовательность интересующих нас решений p1, p2, p3, ... .

Попробуем вывести общую формулу pn = f(p0).

Пусть p0 задано.

Тогда,

p1=B-Ap0

p2=B(1-A)+A^2 p0

p3=B(1-A+A^2)-A^3 p0

Некоторая зависимость проглядывается, но вряд ли она очевидна. Но

стоит умножить и разделить первое слагаемое на (1+А) – и все встает на свои

места. Теперь общая формула очевидна:

pn=(B/1+A)(1-(-A)^n)+(-A)^np0

Проведем расчеты для некоторых значений A и B. Предварительное изучение уравнения показывает, что основное влияние на динамику цены оказывает параметр А. Какое именно – выясним, положив В=1.

Вычислим для различных значений А изменение цены из года в год в

течение 12 лет:

Решения задачи на MathCAD:

Далее уже известным вам из предыдущей лабораторной работы, способом, построим график решения задачи:

Из полученного графика видно, что не смотря на различные начальные условия цен на пшеницу х0, х1, х2, по прошествии нескольких лет цена на неё приходит к оптимальному значению в ~0.66 у.е. когда спрос равен предложению.

Варианты заданий:

Произвести вычисление на MathCAD’е в соответствии вышеуказанному решению модели спроса-предложения, узнать оптимальную цену на пшеницу за определенное время, изменяя параметры:

1. A=0.55, B=1, n=15, x0=1, x1=3, x2=5

2.A=0.6, B=1, n=21, x0=6, x1=3, x2=1

3. A=0.7, B=1.1, n=43, x0=1, x1=3, x2=5

4.A=0.8, B=1, n=50, x0=1, x1=3, x2=5

5.A=0.9, B=1, n=71, x0=4, x1=7, x2=3

6.A=0.5, B=0.9, n=10, x0=3, x1=1, x2=5

7. A=0.57, B=1, n=14, x0=2.5, x1=5, x2=6

8.A=0.45, B=1, n=9, x0=7, x1=3, x2=5

9. A=0.35, B=1, n=11, x0=8, x1=3, x2=5

10.A=0.45, B=1, n=11, x0=7, x1=3, x2=5

11.A=0.85, B=1, n=61, x0=5, x1=3, x2=2

12.A=0.59, B=1.2, n=24, x0=1, x1=5, x2=9

13. A=0.53, B=1, n=11, x0=5, x1=3, x2=4

14.A=0.32, B=1, n=11, x0=1, x1=3, x2=4

15. A=0.38, B=1, n=11, x0=1, x1=2, x2=5

16.A=0.2, B=1, n=5, x0=6, x1=3, x2=5

17.A=0.7, B=1, n=80, x0=4, x1=3, x2=2

18.A=0.57, B=1.1, n=19, x0=3, x1=6, x2=2

19. A=0.6, B=1, n=20, x0=1, x1=3, x2=5

20.A=0.42, B=0.9, n=13, x0=3, x1=5, x2=1