Метод крутого восхождения

Градиентом называют вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Градиент () непрерывной однозначной функции есть вектор:

где — частная производная функции отклика по i-му фактору; — единичные векторы в направлении координатных осей факторного пространства.

Согласно теореме Тейлора о разложении аналитической функции в ряд частные производные функции по факторам равны по величине и знаку, соответствующим коэффициентам регрессии. Следовательно, градиент функции отклика y есть вектор:

Движение по градиенту обеспечивает наиболее короткий путь к оптимуму, так как направление градиента — это направление самого крутого склона, ведущего от данной точки к вершине.

Если изменять факторы пропорционально их коэффициентам с учетом знака, то движение к оптимуму будет осуществляться по самому крутому пути. Этот процесс[9] движения к области оптимума называют крутым восхождением.

Процедура оптимизации методом крутого восхождения может быть выполнена по следующей схеме:

1) выбирается начальная точка, отвечающая наилучшему из известных рабочих режимов объекта;

2) задается интервал варьирования каждого фактора;

3) с центром в начальной точке проводится полный факторный эксперимент для определения вектора градиента;

4) вычисляются произведения и фактор, для которого это произведение максимально, принимается за базовый, т.е. ;

5) для базового фактора выбирают шаг крутого восхождения ;

6) определяются шаги крутого восхождения по остальным факторам: ;

7) совершается рабочее движение, очевидно i-ая координата h-ой точки будет (знак “плюс” берется при поиске максимума, а знак “минус” — при поиске минимума);

8) в каждой рабочей точке могут быть проведены опыты, во время которых измеряются значения отклика (признаком достижения частного экстремума на рабочем направлении является снижение значения отклика после некоторой точки, при этом шаги варьирования для каждого последующего цикла выбираются такими же или уменьшаются по сравнению с шагами варьирования предыдущего цикла);

9) поиск прекращается, когда оценки коэффициентов регрессии получаются статистически незначимыми — область оптимума достигнута.

При поиске оптимума могут встретиться сложные случаи (наличие нескольких локальных оптимумов, седловая точка и т.д.). Поэтому метод крутого восхождения не гарантирует нахождения глобального оптимума. Во многом это предопределяется и начальными условиями эксперимента.

Глобальный оптимум может быть найден при повторении эксперимента с меняющимися в широком диапазоне начальными условиями.

Для исследования почти стационарной области целесообразно аппроксимировать поверхность отклика квадратичным полиномом, который, например, для случая двух независимых переменных принимает следующий вид:

Для оценивания коэффициентов регрессии в этой модели необходимо использовать -факторный эксперимент или специальные для квадратичных полиномов способы построения эксперимента.

Оптимизация характеристик сложных систем методом имитационного моделирования усложняется из-за отсутствия эффективных процедур поиска экстремальных точек при неизвестных математических свойствах поверхности отклика. В процессе исследования имитационной модели оценивается результат работы системы при тех или иных значениях входных переменных. Значения управляемых переменных рассматриваются как составная часть исходных данных. Задача оптимизации может быть решена путем систематического изменения значений управляемых переменных (сюда входят и параметры модели) с последующим анализом результатов прогонов модели.

Процесс оптимизации усложняется необходимостью учета выборочных погрешностей, определяемых конечной длительностью прогонов модели. Действительно, не использовав статистические тесты, исследователь не может утверждать, чем вызвано в конкретном опыте изменение выходной переменной: соответствующим изменением управляемой переменной или выборочной ошибкой. Увеличение числа прогонов для каждой комбинации входных переменных, начальных условий и параметров модели с последующим усреднением результатов уменьшает выборочную ошибку, однако увеличивает продолжительность и стоимость эксперимента.

[1] Возможными критериями являются: “первым вошел – первым вышел” (FIFO); “последним вошел – первым вышел” (LIFO); “большее значение – первым” (HVF) (относительно значений некоторого атрибута); “меньшее значение – первым” (LVF) и “выбор в случайном порядке” (SIRO).

[2] Такой упорядоченный список событий обычно называется календарем событий (calendar, next-event set, future-event list).

[3] Подпрограмма инициализации вызывается перед каждым имитационным прогоном и используется для задания начальных условий и планирования начальных событий.

[4] Получить идеальную последовательность невозможно, хотя бы потому, что на ЭВМ можно оперировать только с конечным множеством чисел.

[5] Период T можно определить аналитически методами теории чисел или с помощью численных экспериментов на ЭВМ.

[6] Отмечено, что 75% исследований в области дискретного ИМ проводятся на основе использования языков программирования Fortran и Pascal, а большая часть из оставшихся 25% приходится на simscript и gpss.

[7] Выборочным пространством может являться одна реализация, либо весь имитируемый процесс в зависимости от задач исследования и начальных условий. Выборочное пространство может ограничиваться фиксированными интервалами времени или интервалами, в которых значение переменной отклика Y переходит через нуль.

[8] Вероятностные характеристики процесса в установившемся режиме не зависят от времени, причем предельный режим, установившийся в системе через некоторое время ее работы, не зависит от того, какие были начальные условия и первоначальный период работы системы.

[9] Метод крутого восхождения был предложен Боксом и Уилсоном в 1951 году, поэтому его называют также методом Бокса-Уилсона.