Подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степени P(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) – полином).
Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = xi+1 – xi), то есть три узла x0, x1, x2, через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:
.
Пусть z = x - x0, тогда
Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:
.
В итоге:
Для равномерной сетки и четного числа шагов n формула Симпсона принимает вид:
Здесь 
, а 
в предположении непрерывности четвертой производной подынтегральной функции.
