Решение нелинейных уравнений численными методами

При решении инженерных задач встречаются алгебраические и трансцендентные уравнения, что может представлять собой самостоятельную задачу или являться составной частью более сложных задач. В обоих случаях применение численного метода позволяет быстро и эффективно добиться решения задачи.

Линейные уравнения имеют одно решение, алгебраические уравнения – n решений, трансцендентные – неопределённое число решений. Решение линейных уравнений с одним неизвестным является достаточно простой задачей и здесь не рассматривается.

Уравнения, содержащие только суммы целых степеней x, называются алгебраическими. Их общий вид .

Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например lg x или e^x, называются трансцендентными.

Для решения нелинейных уравнений, для которых отсутствует аналитическое решение или оно очень сложно, применяют численные методы, в которых, как правило, применяются итерационные алгоритмы. В итерационных методах задаётся процедура решения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближённым, хотя может быть сколь угодно близким к точному.

В общем случае задача формулируется следующим образом.

Пусть на отрезке [a,b] дана непрерывная функция y=f(x), причем значения f(a) и f(b) имеют разные знаки. Тогда абсцисса точки пересечения графика функции y=f(x) с осью x будет корнем уравнения f(x)=0, см. рис.16.1. Другими словами, требуется найти такое значение x, при котором значение функции f(x) будет равно нулю.

Рис.16.1. Графическая интерпретация нахождения корня уравнения

Численными методами значение корня определяется с погрешностью, не превосходящей данного положительного, достаточно малого числа e. Иначе говоря, если v – истинное значение корня, при котором f(v)=0, то требуется определить такое число w, при котором a£w£b и ½v-w½<e.

Первый этап решения состоит в отыскании области существования корня, т.е. отрезков на оси абсцисс, в концах которых функция имеет разные знаки. Для этого вычисляются значения функции в точках, расположенных через равные интервалы на оси x. Это делается до тех пор, пока не будут найдены два последовательных значения функции f(x_n) и f(x_n+1), имеющих противоположные знаки, т.е. f(x_n)f(x_n+1)<0. Таким образом, при a= x_n, b=x_n+1, уточнение корней будет производиться на отрезке [a,b].

Для решения данной задачи применяются методы: половинного деления, касательных (Ньютона), хорд и секущих.