Пример 2.

а) Пусть предикат “чётное число”. Тогда высказывание истинно на любом множестве чётных чисел и ложно, если множество содержит хотя бы одно нечётное число. Высказывание истинно на любом множестве, содержащем хотя бы одно чётное число и ложно на любом множестве нечётных чисел.

б) Рассмотрим двухместный предикат на множествах с отношением нестрогого порядка. Предикат есть одноместный предикат от переменной . Если множество неотрицательных чисел, то этот предикат истинен в единственной точке . Предикат (можно записать ) высказывание истинное на множестве, состоящем из одного элемента и ложное на всяком другом множестве. Высказывание утверждает, что в множестве имеется максимальный элемент (для любого существует такой , что ). Оно истинно на любом конечном множестве целых чисел. Высказывание утверждает, что для любого элемента имеется элемент , не меньший его. Оно истинно на любом непустом множестве ввиду рефлексивности отношения . Последние два высказывания говорят о том, что перестановка кванторов меняет смысл высказывания и условие его истинности.

1. Истинные формулы и эквивалентные соотношения.

При логической (истинностной) интерпретации формул логики возможны три основные ситуации.

1. Если в области для формулы существует такая подстановка констант вместо всех переменных, что становится истинным высказыванием, то эта формула называется выполнимой в области . Если существует область , в которой формула выполнима, то формула называется просто выполнимой. Пример выполнимой формулы - .

2. Если формула выполнима в области при любых подстановках констант, то она называется тождественно истинной в области . Формула, тождественно истинная в любых множествах называется просто тождественно истинной, или общезначимой, или тавтологией. Например, формула тождественна для всех множеств, состоящих из одного элемента, а формула является тавтологией.

3. Если формула невыполнима в области при любых подстановках констант, то она называется тождественно ложной в области . Формула, тождественно ложная в любых множествах называется просто тождественно ложной или противоречивой. Формула является противоречивой.

Определение. Формулы называются эквивалентными, если при любых подстановках одинаковых констант они принимают одинаковые значения. В частности, все тождественно истинные (и все тождественно ложные) формулы являются эквивалентными.

Отметим, что если формулы и эквивалентны в соответствии с этим определением, то формула является тождественно истинной.

Замечание. Исследование формул логики предикатов имеет огромное значение потому, что эти формулы входят практически в любую формальную теорию. В связи с этим возникают две проблемы: получение истинных формул и проверка имеющихся формул на истинность. Поскольку предикатные переменные имеют, в общем случае, бесконечное множество значений, то установить истинность формул простым перебором значений на всех наборах переменных, как это иногда делалось для логических функций, просто невозможно. В связи с этим, приходится использовать различные косвенные приёмы.

Пример 3. Рассмотрим соотношение . Пусть для некоторого предиката и области левая часть истинна. Тогда не существует такого , для которого истинно. Следовательно, для любых значений ложно, то есть и правая часть истинна. Если же левая часть ложна, то всегда существует , для которого истинно и, следовательно, правая часть ложна.

Аналогично доказывается истинность соотношения

Большое значение имеют следующие свойства, которые могут быть доказаны способом, рассмотренным в примере 3.

1) Дистрибутивность квантора относительно конъюнкции:

.

2) Дистрибутивность квантора относительно дизъюнкции:

.

Если же кванторы и поменять местами, то получатся соотношения, верные только в одну сторону:

3) ,

4) .

В таких случаях говорят, что левая часть является более сильным утверждением, чем правая, поскольку она требует для своего выполнения более жёстких условий. Так, например, в соотношении 3 в левой части требуется, чтобы оба предиката были истинны для одного и того же значения , тогда как в правой части они могут быть истинны при различных значениях переменной. Пример случая, когда соотношения 3 и 4 в обратную сторону неверны: “чётное число”, “нечётное число”.

Пусть некоторое переменное выражение, не содержащее переменной . Тогда выполняются соотношения:

5) .

6) .

7) .

8) .

Эти соотношения означают, что формулу, не содержащую переменной , можно выносить за область действия квантора, связывающего эту переменную.

1. Доказательства в логике предикатов.

Метод доказательства формул, содержащих переменные, путём непосредственной подстановки в них констант называется методом интерпретаций или методом моделей. Подстановка констант позволяет интерпретировать формулу как осмысленное утверждение об элементах конкретного множества. Поэтому такой метод, выясняющий истинность формулы путём обращения к её возможному смыслу называется семантическим (смысловым). Метод интерпретаций удобен для доказательства выполнимости формул или их неэквивалентности, поскольку и в том, и в другом случае достаточно найти одну подходящую подстановку. Он удобен также для исследования истинности формул на конечных областях. Дело в том, что если область конечна, то кванторы переходят в конечные формулы логики высказываний:

, .

Заменяя все кванторы по этим соотношениям, любую формулу логики предикатов можно перевести в формулу, состоящую из предикатов, соединённых логическими операциями. Истинность такой формулы на конечной области проверятся конечным числом подстановок и вычислений. Методы рассуждений, использующие только конечные множества конечных объектов, называются финитными.

Для бесконечных же областей, в общем случае, при доказательстве тождественной истинности формул метод интерпретации связан с большими трудностями. Поэтому для построения множества истинных формул в логике предикатов выбирается иной путь. Это множество порождается из неких исходных формул (аксиом) с помощью формальных процедур - правил вывода. Используются лишь формальные (а не содержательные), внешние свойства последовательности символов, образующих формулы, причём эти свойства полностью описываются правилами вывода. Множества, порождённые таким формальным методом, называются формальными.