Пример 1.

а) Предикат является двухместным предикатом, предметной областью которого могут служить любые множества действительных чисел. Высказывание истинно, а высказывание ложно. Если вместо одной из переменных подставить число, то получится одноместный предикат: и так далее.

б) Великая теорема Ферма (до сих пор не доказанная) утверждает, что для любого натурального числа не существует натуральных чисел , которые удовлетворяли бы равенству . Этому равенству можно поставить в соответствие предикат , истинный тогда и только тогда, когда оно выполняется.

в) В описаниях вычислительных процедур и, в частности, в языках программирования, часто встречаются указания типа “повторять цикл до тех пор, пока переменные и не станут равными или прекратить вычисление цикла после ста повторений”. Если обозначить через счётчик повторений, то описанное здесь условие примет вид , а само указание в целом описывается выражением: “повторять, если ”.

1. Кванторы.

Пусть предикат, определённый на множестве . Высказывание “для всех истинно” обозначается или . Здесь множество входит в обозначение, но когда оно ясно из контекста пишут просто . Знак называется квантором общности.

Высказывание “существует такое значение , что истинно” обозначается или . Знак называется квантором существования. Переход от предиката к выражениям вида или называется связыванием переменной , а также навешиванием квантора на переменную (или на предикат ). Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная переменная называется свободной.

Смысл связанных и свободных переменных в предикатах принципиально различен. Свободная переменная – это обычная переменная, которая может принимать различные значения из множества ; выражение - переменное высказывание, зависящее от значения . Выражение не зависит от переменной и имеет вполне определённое значение. Это, в частности, означает, что переименование связанной переменной, то есть переход от выражения к выражению и наоборот не меняет истинности выражения. Переменные, являющиеся, по существу, связанными, встречаются не только в логике. Например, в выражениях или переменная связана: при фиксированной функции первое выражение равно определенному числу, а второе становится функцией от пределов интегрирования.

Навешивать кванторы можно и на многоместные предикаты и вообще на любые логические выражения, которые при этом заключаются в скобки. Выражение, на которое навешивается квантор или называется областью действия квантора. Все вхождения переменной в это выражение являются связанными. Навешивание квантора на многоместный предикат уменьшает в нём количество свободных переменных и превращает его в предикат от меньшего числа переменных.