Заданы результаты исследования зависимости выходного параметра Y системы от входного параметра X. Предложена модель, отображающая эту зависимость. При измерениях значений параметров X и Y действовала погрешность Δ – случайная, нормально распределенная, с математическим ожиданием M[X]=0 и стандартным отклонением σ0.
Требуется:
найти наилучшие оценки параметров предлагаемой модели A, B, C, используя метод наименьших квадратов;
проверить адекватность модели;
сделать выводы по результатам проверки адекватности модели.
Исходные данные (вариант 2):
Модель, отображающая зависимость выходного параметра Y системы от входного параметра Х, представляет собой: Y=A+BX2+CX4
Результаты исследования представленной зависимости:
1. Нахождение наилучших оценок параметров А, В, С модели Y=A+BX2+CX4 методом наименьших квадратов (МНК).
МНК - один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.
Критерием близости в МНК является требование минимальной суммы квадратов отклонений от аппроксимирующей функции до экспериментальных точек:
(3.1.)
Таким образом, не требуется, чтобы аппроксимирующая функция проходила через все заданные точки, что особенно важно при аппроксимации данных, заведомо содержащих погрешности.
Таким образом, фактически необходимо подобрать набор коэффициентов А, В, С, минимизирующий функцию (3.1). Этот набор и будет являться наилучшими оценками параметров А, В, С.
Для этого используют необходимое условие экстремума:
(3.2)
Используя выражения (3.1) и (3.2), дифференцированием получаем так называемую нормальную систему МНК (4.3):
Полученная система (3.3) есть система алгебраических уравнений относительно неизвестных А, В и С. Определитель этой системы отличен от нуля, то есть решение существует и единственно. Перед непосредственным решением системы уравнений (3.3) найдем с помощью МS Excel численные значения сумм, указанных в (3.3), используя исходные экспериментальные данные.
Таблица 4.1
Х
Y
Х2
Х4
Х6
0,0
0,55145
0,2
1,69157
0,04
0,0016
0,000064
0,4
1,20713
0,16
0,0256
0,004096
0,6
-0,47091
0,36
0,1296
0,046656
0,8
3,38568
0,64
0,4096
0,262144
1,0
2,26144
1,2
4,32166
1,44
2,0736
2,985984
1,4
3,51986
1,96
3,8416
7,529536
1,6
8,12745
2,56
6,5536
16,77722
1,8
10,3484
3,24
10,4976
34,01222
2,0
12,7096
47,65333
15,4
40,5328
126,6179
Х8
X2 Y
Х4Y
2,56E-06
0,067663
0,002707
0,000655
0,193141
0,030903
0,016796
-0,16953
-0,06103
0,167772
2,166835
1,386775
2,26144
2,26144
4,299817
6,22319
8,961394
14,75789
6,898926
13,52189
42,94967
20,80627
53,26406
110,1996
33,52882
108,6334
50,8384
203,3536
429,3922
122,8152
391,3551
Пользуясь суммами, полученными в таблице 3.1,запишем систему уравнений (4.3) в виде:
Полученную систему линейных алгебраических уравнений (3.4) удобно решать матричным методом с помощью Mathcad. Для этого запишем матрицу системы М из коэффициентов и вектор свободных членов S из правых частей. Далее, решим сиcтему, умножая слева столбец свободных членов S на матрицу обратную матрице М. В итоге получаем вектор V, содержащий значения коэффициентов А, В и С системы (3.4).
Таким образом, наилучшие оценки параметров будут равны
А=0,786; В=1,472; С=0,403,
а модель запишется как
Y=0,786+1,472X2+0,403X4.
2. Проверка адекватности полученной модели Y=0,786+1,472X2+0,403X4.
Математическая модель должна достаточно верно качественно и количественно описывать свойства исследуемого явления, т.е. она должна быть адекватна. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического более чем на некоторую заранее заданную величину.
Для проверки адекватности модели достаточно оценить отклонение предсказанного имитационной моделью значения выходного параметра от результатов эксперимента с помощью.
Оцениваем дисперсию адекватности
(3.5), где
N – количество значений выходного параметра (N=11),
α – число членов аппроксимирующего полинома (α=3).
С помощью MS Excel найдем необходимые значения:
0,55145
0,786
-0,23455
0,055014
1,69157
0,846
0,84557
0,714989
1,20713
1,032
0,17513
0,030671
-0,47091
1,368
-1,83891
3,38159
3,38568
1,893
1,49268
2,228094
2,26144
2,661
-0,39956
0,159648
4,32166
3,741
0,58066
0,337166
3,51986
5,219
-1,69914
2,887077
8,12745
7,195
0,93245
0,869463
10,3484
9,786
0,5624
0,316294
12,7096
13,122
-0,4124
0,170074
11,15008
Тогда по формуле (4.5) получаем
(3.6)
Т.к. =1,39376 превышает дисперсию опыта σ0=1,0, то проверка гипотезы об адекватности проводится с помощью F – критерия, при котором степени свободы числителя и знаменателя соответственно равны
, где m- число серий в опыте.
По таблице для F - критерия по полученным степеням свободы при значении коэффициента риска β=0,05 определяем значение Fкр=2,95.
Определим значения F – критерия для полученной дисперсии адекватности (3.6)
Т.к. F<Fкр, то полученная модель признается адекватной.
3. Выводы по результатам проверки адекватности полеченной модели Y=0,786+1,472X2+0,403X4.
По результатам проверки адекватности модели с помощью F – критерия было установлено, что полученная модель адекватна, т.е. она адекватно описывает исследуемый процесс. Это означает, что полученную модель можно использовать для управления процессом и оптимизации его путем движения в направлении к экстремуму.
(3.1.)
(3.2)
47,65333
15,4
40,5328
126,6179
429,3922
122,8152
391,3551
от результатов эксперимента 
с помощью.
(3.5), где
11,15008
(3.6)
=1,39376 превышает дисперсию опыта σ0=1,0, то проверка гипотезы об адекватности проводится с помощью F – критерия, при котором степени свободы числителя и знаменателя соответственно равны
, где m- число серий в опыте.