Суть методов механического сглаживания заключается в следующем. Берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и т. д.
Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней.
Сначала для временного ряда y1 , y2 , … , yn определяется интервал сглаживания m(m<n). Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным. Для первых m уровней временного ряда вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т.д. Для вычисления сглаженных уровней ряда применяется формула:
, t > p,
где (при нечетном m); для четных m формула усложняется.
В результате такой процедуры получаются n – m + 1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые p и последние p уровней ряда теряются (не сглаживаются). Другой недостаток метода в том, что он применим лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию.
Метод взвешенной скользящей средней отличается от предыдущего метода сглаживания тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами. Это связано с тем, что аппроксимация ряда в пределах интервала сглаживания осуществляется с использованием полинома не первой степени, как в предыдущем случае, а степени, начиная со второй. Используется формула средней арифметической взвешенной:
причем веса pt определяются с помощью метода наименьших квадратов. Эти веса рассчитаны для различных степеней аппроксимирующего полинома и различных интервалов сглаживания.
К этой же группе методов выравнивания временных рядов примыкает метод экспоненциального сглаживания. Его особенность заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда. Если для исходного временного ряда y1 , y2 , … , yn соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через St, t = 1, 2, ..., n, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:
,
где - параметр сглаживания (0 < α < 1);
величина 1 - называется коэффициентом дисконтирования.
Используя приведенное выше рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом времени t, можно получить, что экспоненциальная средняя, т.е. сглаженное данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней:
здесь S0— величина, характеризующая начальные условия.
В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:
Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле ut = yt - yt-i , t = 2, 3, ..., n, то они будут постоянной величиной и равны а1.
Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени и ряд из первых приростов u2, u3, … на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты для полинома второй степени будут постоянны.
Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле будут постоянной величиной.
Можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:
1. от полинома высокого порядка можно путем расчета последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;
2. значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции .
Таким образом, полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.
В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.
Простая экспонента представляется в виде функции
где a и b — положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы - функция убывает.
Модифицированная экспонента имеет вид
где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.
В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.
Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение
где а, b - положительные параметры, причем b меньше единицы; параметр k - асимптота функции.
В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом - прирост функции незначителен, на втором - прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом - происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.
Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции - линейная функция времени. На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования показателей смертности и т. д.
Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида - возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде
;
другие виды этой кривой:
; .
где а и b — положительные параметры; k — предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.
Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда. Допустим, имеется временной ряд y1 , y2 , … , yn. Для выбора вида полиномиальной кривой роста наиболее распространенным методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента, и, во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.
На первом этапе этого метода вычисляются разности (приросты) до k-го порядка включительно:
;
;
. . . . . . . .
.
Для аппроксимации экономических процессов обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка.
Затем для исходного ряда и для каждого разностного ряда вычисляются дисперсии по следующим формулам:
для исходного ряда ;
для разностного ряда k-го порядка (k = 1, 2, ...) ;
где - биномиальный коэффициент.
Производится сравнение отклонений каждой последующей дисперсии от предыдущей, т.е. вычисляются величины
,
и если для какого-либо k эта величина не превосходит некоторой наперед заданной положительной величины, т.е. дисперсии одного порядка, то степень аппроксимирующего полинома должна быть равна k - 1.
Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания m = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле:
;
причем чтобы не потерять первый и последний уровни, их сглаживают по формулам:
; .
Затем вычисляются первые средние приросты
, t = 2, 3, … , n-1;
вторые средние приросты
,
а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда:
; ; ; .
В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется табл. 2.3.
Таблица 2.3. Выбор кривой роста в соответствии с изменением приростов и производных показателей
применяется формула:
, t > p,
(при нечетном m); для четных m формула усложняется.
,
- параметр сглаживания (0 < α < 1);
(полином первой степени)
(полином второй степени)
(полином третьей степени) и т.д.
для полинома второй степени будут постоянны.
будут постоянной величиной.
.
;
; 
.
;
;
.
;
;
- биномиальный коэффициент.
,
;
; 
.
, t = 2, 3, … , n-1;
,
; 
; 
; 
.
