Все компьютеры используют для хранения информации двоичную систему. Это значит, что каждый элемент хранимой информации может иметь только два состояния. Эти состояния обозначаются как «включен» и «выключен», «истина» и «ложь», или «1» и «0». Как правило, компьютер использует эти значения в виде уровней напряжения.
Из-за двоичного представления данных компьютеры используют в своих вычислениях арифметику с двоичным основанием. Используя простейшие числа 0 и 1, можно выполнять очень сложные вычисления.
Арифметика с основанием 2 пользуется только двумя цифрами: 0 и 1.
Для начала определим общие принципы систем счисления на примере привычной нам десятичной арифметики. Мы обычно применяем систему исчисления по основанию 10. В десятичной арифметике употребляется десять различных цифр - от 0 до 9. (Двоичную арифметику можно представить себе как систему для людей, имеющих только два пальца.) Ограничение лишь десятью цифрами в десятичной арифметике не мешает нам представлять более крупные числа. Мы пользуемся многозначными числами, в каждой позиции которых стоят разные степени 10. Самая правая цифра любого числа обозначает число единиц, соседняя слева - количество десятков, следующая - число сотен и т.д. Прогрессия справа налево выстраивается такая:
100, 101, 102 и т.д.
Число 2368 в действительности представляет 2 тысячи, 3 сотни, 6 десятков и 8 единиц. Покажем, говоря математическим языком, разложение числа 2368.
2368 = 2*103 + 3*102 + 6*101 + 8*100
= 2000 + 300 + 60 + 8
Таким образом, мы видим общее правило определения веса разряда многоразрядного числа:
Если пронумеровать разряды целого числа справа налево, начиная от 0 для разряда единиц, то вес любого разряда получается возведением основания системы счисления в степень, значение которой равно номеру разряда.
Так, вес самого младшего разряда целых чисел равен 1, поскольку номер разряда равен 0 (любое число, возведенное в нулевую степень, дает в результате единицу). Вес следующего слева разряда равен 10 в степени 1, т.е. равен десяти, и т.д.
Арифметика с основанием 2 или двоичная система аналогична десятичной, за исключением того, что разряды числа здесь соответствуют степеням 2 а не 10. Числа больше 1 представляются многозначными числами, так же как в десятичной арифметике многозначное представление получают числа больше 9. Каждая цифра (разряд) в двоичной системе называется бит (от Binary digit). Двоичным числом состоящим из n бит можно изобразить число величиной 2n-1.
Кроме бита введем понятие байта – байт (англ. byte) — единица измерения количества информации, байт равен восьми битам (может принимать 256 (28) различных значений).
Сложение в двоичной системе выглядит так:
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует один двоичный логический элемент с двумя состояниями (открыт, закрыт).
Чтобы было сразу понятно, что число записано в двоичном представлении, мы будем пользоваться суффиксом «b» (т.е. буква b будет записана после всех цифр). Этим они будут отличаться от десятичных, не имеющих суффикса. Например, 2368 - это десятичное число, а 1011b - двоичное.
К неудобствам двоичной системы счисления относится то, что запись числа в двоичной системе громоздка (требует большего числа разрядов, чем привычная для человека десятичная). По этой и ряду других причин, кроме двоичной применяется шестнадцатеричная система счисления. Преобразования из двоичной в шестнадцатеричную систему и обратно выполняются просто и удобно.
Двоичная арифметика хороша для компьютера, поскольку он имеет дело только с единицами и нулями. Но человеческое восприятие требует более компактного представления. Мы будем пользоваться шестнадцатеричным представлением данных для собственного удобства.
