Представление рядов

Системы компьютерной алгебры работают с различного рода рядами: рядами Тейлора, рядами Лорана, рядами Пуассона и Фурье и т.п. Представление информации подобного рода имеет свои особенности.

Для рядов Тейлора обычно существует некоторая малая величина - переменная, от степени которой зависят все члены ряда. Поэтому системы компьютерной алгебры работают в этих случаях не с рядами, а с отрезками рядов. При этом для каждого отрезка ряда есть понятие точности ряда. Точностью отрезка ряда называется максимальная, положительная степень членов отрезка ряда по переменной, характеризующей его малость, по переменной .

Работая с такими отрезками рядов, приходится решать специфические проблемы, например, потери точности или появления дробных степеней в отрезках рядов Тейлора (выхода при преобразованиях выражений в другой класс обрабатываемой информации, в другой класс рядов). Эти проблемы можно решить, так как операции, где появляются эти проблемы, и условия их возникновения известны заранее.

При работе с рядами Тейлора употребляются и специальные методы работы и представления информации, такие как метод последовательных приближений и метод Нормана. В этих случаях хранят не все члены рядов, а только некоторые, а вместо других членов ряда хранятся правила их получения, которые срабатывают, если необходимо получить члены ряда большей точности (малости).

Для рядов Пуассона и Фурье реализуются канонические представления с учетом специфики выражений. Необходимо заметить, что и в этих случаях предусматривается наличие переменной (параметр малости) , по степени которого можно отбрасывать малые члены рядов, и работать с конечными отрезками рядов.

Для работы с рядами обычно используются специализированные системы и подсистемы компьютерной алгебры.

Выводы

Необходимо, в силу вышесказанного, учитывать, что для разных последовательностей действий, на первый взгляд эквивалентных с алгебраической точки зрения, при преобразованиях, проводимых с помощью систем аналитических вычислений, можно получить разные результаты.

Во-первых, при одной последовательности преобразований можно не достичь результата из-за ограниченности вычислительных ресурсов, что не случится при другом порядке вычислений.

Во-вторых, при разных последовательностях действий можно получить разные результаты.

В-третьих, можно получить неправильный результат (обычно при делении на нераспознанный нуль).

Такие неутешительные выводы следуют из того факта, что в большом количестве преобразований для исходных выражений зачастую не существует канонического представления, а часто, и нормального представления для исходных формул.

Тот факт, что выбор представления математических объектов в компьютере существенно влияет на их преобразования и на получение достоверного результата, требует знания от пользователя принципов построения таких представлений, которые были изложены в этой лекции.