Виды представлений.

Пусть - множество объектов, а - множество их представлений. Представление задает соответствие между множествами E и P. Если это соответствие является однозначным, и двум разным объектам соответствуют разные представления, то представление называется каноническим.

Нормальным представлением называется такое представление, в котором только один, особый элемент множества объектов E, так называемый нулевой элемент, представляется в пространстве представлений P единственным образом.

Чтобы распознать, являются ли два объекта и одним и тем же объектом, в случае канонического представления достаточно сравнить их представления и .

В случае нормального представления, чтобы узнать, являются ли два разных представления и представлением одного итого же объекта, необходимо произвести алгебраическую операцию по получению нулевого объекта и если полученное представление есть представление нулевого объекта, то тогда эти два представления суть равны.

Для систем компьютерной алгебры проблема идентичности объектов тем более важна в силу алгебраических свойств объектов и наличия алгебраических операций типа деления, которые не существуют, когда второй операнд операции есть нуль.

Проблема идентичности, как видно, наиболее легко разрешается для канонических представлений. Она разрешима (с большими трудностями) и для нормальных представлений и она не разрешима для всех остальных представлений.

В случае, если мы не можем сказать, являются ли два представления и представлением одно и того же объекта, то мы не можем ручаться за корректность полученного результата, т.е. за сам результат.

Особая роль нуля, или точнее говоря нулевых элементов, в системах компьютерной алгебры сказывается при представлении таких базовых структур информации как полиномы и матрицы. Не всегда есть необходимость хранить нулевые элементы непосредственно в структуре хранения, часто достаточно иметь соглашения о работе с этими нулевыми элементами. При этом возникает возможность в более компактном представлении данных и в более эффективных преобразованиях над ними.

В связи с этим различают плотные и разреженные представления данных. В плотных представлениях хранятся все нулевые элементы структуры, а в разреженных представлениях нулевые элементы не хранятся.