Алгоритм разностного группирования

Алгоритм разностного группирования данных является модификацией алгоритма пикового группирования, предложенного З.Егером и Д.Филёвым. В качестве меры плотности размещения векторов используются так называемые пиковые функции. В алгоритме разностного группирования в качестве потенциальных центров пиковых функций используются обучающие векторы . Пиковая функция задаётся в виде [6]:

. (8.95)

Значение коэффициента определяет сферу соседства векторов. При большой плотности векторов вокруг точки , значение функции велико, следовательно, точка является «удачным» кандидатом в центры. После расчёта значений пиковой функции для всех точек , отбирается та, для которой значение функции оказалось максимальным. Именно эта точка становится первым отобранным центром . Выбор следующего центра возможен после исключения предыдущего и всех точек, лежащих в его окрестности. Для этого пиковая функция переопределяется в виде:

. (8.96)

Обычно при выборе новой константы соблюдается условие . Пиковая функция принимает нулевое значение при и близка к нулю в ближайшей окрестности этой точки.

После модификации пиковой функции отыскивается следующая точка , для которой величина оказывается максимальной. Эта точка становится следующим центром . Процесс поиска очередного центра продолжается после исключения всех предыдущих центров и их окрестностей. Процесс инициализации центров завершается в момент фиксации всех центров, предусмотренных начальными условиями.

Если существует множество обучающих данных в виде пар векторов так, как это происходит при обучении с учителем, то для нахождения центров, соответствующих множеству векторов , достаточно сформировать расширенную версию векторов в виде . При этом определяют расширенные версии центров с размерностью, равной сумме размерностей векторов и . Тогда в описании центров можно выделить часть , соответствующую векторам (первые N компонентов) и остаток , соответствующий вектору . Таким образом, можно получить центры, как входных переменных, так и ожидаемых выходных значений . В случае применения нечётких правил с одним выходом векторы и сводятся к скалярным величинам.

Независимо от способа реализации алгоритма обучения сеть с нечёткой самоорганизацией выполняет нечёткое группирование данных путём приписывания их к различным центрам на основании коэффициентов принадлежности, значения которых изменяются от нуля до единицы. Это означает, что каждый вектор x представляется множеством центров, причём влияние каждого из них на значение вектора различно и зависит от величины коэффициента принадлежности. Если считать, что вектор представляется M центрами , а принадлежность вектора к каждому центру задана коэффициентом (формула 8.73), то реконструкция исходного вектора происходит согласно выражению:

. (8.97)

В этом состоит существенное различие нечёткой самоорганизации от классической самоорганизации Кохонена, при которой реконструкция вектора выполняется на базе одного центра, ближайшего к данному вектору, путём простого приписывания ему значения этого центра.