Нечеткая нейронная сеть Ванга-Менделя

Если в модели Мамдани-Заде в качестве агрегатора использовать оператор алгебраического произведения, то дефуззификация относительно среднего центра, приводит к модели Менделя-Ванга [6]. Следует отметить, что состоит из суммы нечетких функций для импликаций всех М правил, образующих систему нечеткого вывода. В модели Мамдани-Заде каждое из этих М правил определяется уровнем активации условия, , тогда как - это значение , при котором величина становится максимальной (либо принимает среднее из максимальных значений). Пусть величина обозначает центр нечеткого множества заключения -го правила вывода. Тогда дефуззификация относительно среднего центра в модели Менделя- Ванга [6], в соответствии с которой:

. (8.66)

Допустим, что существует нечеткая система, описываемая зависи­мостью (8.66), на вход которой подается последовательность векторов . При использовании фуззификатора в виде обобщенной гауссовской функции выходной сигнал у этой системы определяется по формуле :

, (8.67)

в которой обозначают параметры центра, ширины и формы (условия) -го компонента вектора для -ro нечеткого правила вывода.

Выражение (8.67) определяет непрерывную функцию, которая может использоваться для аппроксимации произвольно заданной непрерывной функции от многих переменных , образующих вектор . При соответствующем подборе параметров условия и заключения , функция (8.67) может аппроксимировать заданную функцию с произвольной точностью . Способность нечёткой системы, характеризующейся рядом нелинейных функций от одной переменной, к аппроксимации нелинейной функции от многих переменных, свидетельствует о возможностях практического применения нечётких систем.

Если использовать в качестве основы дальнейших рассуждений выражение (8.67), можно получить структуру нечеткой сети (рисунок 8.4), определенную Л.Вангом и Дж.Менделем [6].

Рисунок 8.4 Структура нечеткой нейронной сети Ванга- Менделя.

Это четырехслойная структура, в которой первый слой выполняет фуззификацию входных переменных, второй – агрегирование значений отдельных переменных в условии i-го правила вывода, третий (линейный) – агрегирование правил вывода (первый нейрон) и генерацию нормализующего сигнала (второй нейрон), тогда как состоящий из одного нейрона выходной слой осуществляет нормализацию, формируя выходной сигнал .

Только первый и третий слои являются параметрическими. В первом слое это параметры функции фуззификации , а в третьем слое - веса , интерпретируемые как центры функции принадлежности следствия - того нечеткого правила вывода.

Представленная на рисунке 8.4 сетевая структура реализует функцию аппроксимации (8.66), которую с учетом введенных обозначений можно записать в виде

. (8.68)