Лабораторная работа 0

Тема Имитация дискретной случайной величины в системе MS Excell.

Цель:

Различают дискретные и непрерывные случайные величины (СВ). Спрос на какую–либо продукцию, прибыль фирмы, объем экспорта за определенное время и т. д. являются СВ.

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).

Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Дискретной называют такую СВ, которая принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. Например, число покупателей в магазине в определенный момент времени, количество определенного товара, продаваемого ежедневно в магазине, число автомобилей на проспекте и т. д. является дискретными СВ. Дискретность распределения не означает его конечность. Существуют дискретные распределения, которые имеют бесконечное количество возможных исходов. Одним из них является распределение Пуассона.

Для описания дискретной СВ необходимо установить соответствие между всевозможными значениями СВ и их вероятностями. Такое соответствие называется законом распределения дискретной СВ. Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы), либо графически.

Например, табличное задание закона распределения дискретной СВ (табл.1):

Таблица 1

где и _. (1.1)

Таким образом, случайная величина X в результате испытания может принять одно из возможных значений х₁, х₂, ..., х_п с вероятностями

Р (Х = х₁) = р₁; Р(Х = х₂) = р₂; Р(Х = х_п)= р_n. (1.2)

Для наглядности закон распределения дискретной случайной вели­чины изображают графически, для чего в прямоугольной декартовой системе координат строят точки и соединяют их последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия на­зывается многоугольником распределения (полигоном) случайной величины X.

Случайные величины описываются некоторыми числовыми характеристиками. Важнейшими из них являются: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Пример1:

Исследовать случайную величину, которая является числом очков, выпавшим при однократном бросании игральной кости - кубика с шестью гранями. Найти среднее значение (математическое ожидание) M(X), дисперсию D(X).

Построить имитационную модель, моделирующую многократное бросание кубика. Вычислить количество выпавших очков (отдельно количество «единиц», «двоек» и т.д.) и их долю от общего количества повторений. Найти среднее количество выпавших очков и средний разброс относительно среднего.

Расчет провести в MS Excel, повторив вычисления не менее 500 раз. Сравнить полученные результаты с соответствующими теоретическими характеристиками.

Решение:

Случайная величина Х принимает следующие значения: {1, 2, 3, 4, 5, 6}, соответствующие выпадениям «единицы», «двойки», «тройки», «четверки», «пятерки», «шестерки» на верхней грани кубика. Так как все эти события равновозможны, то соответствующие значениям случайной величины вероятности равны . Значит, распределение СВ может быть задано следующей таблицей:

Вычислим характеристики СВ, пользуясь MS Excel см.рис1-2. Математическое ожидание М(Х) для дискретной СВ вычислим по формуле:

_, (1.3)

Значение равно и содержится в ячейке H9.

Дисперсией D(X) CВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания, при этом для дискретной СВ имеем:

Значение равно 2.92 и содержится в ячейке H11.

Рис. 1. Вычисление характеристик СВ.

Проведем моделирование бросания кубика. Кубик – это генератор случайных чисел, значений от 1 до 6.

Обозначим через N общее количество повторений опыта - бросаний кубика. Выполним имитацию 500 бросков N=500.

Для проведения эксперимента воспользуемся функцией «СЛЧИС()».

Функция «СЛЧИС()» возвращает равномерно непрерывно распределенное случайное число, большее или равное нулю и меньшее, чем единица.

Вычислим число, используя формулу 1+6* «СЛЧИС()». В результате выполнения вычисления получим число, лежащее в диапазоне от 1 до 7 ( 1 и 7 практически недостижимы) . Искомое значение, выпавшее на грани получается при помощи использовании функции «ЦЕЛОЕ()».

Функция «ЦЕЛОЕ» - возвращает целую часть числа, отбрасывая дробную (не округляет!).

Выполнив указанные действия в 31-ой строке, получаем значения на грани, которые выпадают при однократном бросании кубика (рис.2-3), количество выпавших очков содержится в ячейке D31. Повторим эту операцию N раз (N=500 ) заполнив строки с номерами от 31 до 530. В результате в ячейках D31:D530 получим искомые значения на грани, т.о. каждая строка таблицы отражает одну реализацию.

Рис.2. Имитация бросания кубика в режиме данных

Обработка результатов опыта.

Для вычисления количества выпавших очков (отдельно количество «единиц», «двоек» и т.д.) в результате эксперимента воспользуемся функцией «СЧЁТЕСЛИ()».

Функция «СЧЁТЕСЛИ()» - функция пересчета количества выпаданий каждого значения на грани кубика.

В интервале B17:B22 содержится количество выпавших очков (рис.3-4). Так в ячейке B17 содержится значение 81 равное количеству выпавших «единиц», в ячейке B18 содержится значение 72 равное количеству выпавших «двоек», и т.д. В интервале С17:С22 содержится доля каждого из значений от общего количества повторений.

Сравним доли выпавших очков и соответствующие значения вероятностей. Для этого вычислим разницу между ними. Все вычисления содержатся в интервале Е17:G22, относительное расхождение не превышает 14%. Рис. 6 иллюстрирует сходство долей выпавших очков и соответствующих значений вероятностей.

В ячейке D24 содержится среднее значение выпавших очков в результате эксперимента равное 3,584. Это значение отличается на 2.4 % от математического ожидания, равного 3,5. Относительная погрешность вычислена по формуле =abs(D24-H11)/H11 и содержится в ячейке G25.

Вычислим среднеквадратичное отклонение выпавших очков от среднего. Для этого заполним интервал ячеек Е31:Е531. Каждое значение в строке это квадрат отклонения выпавших очков от среднего в данном конкретном опыте. В ячейке D25 содержится среднее значение квадрата отклонения выпавших очков от среднего в результате всего эксперимента (500 бросков) равное 2,927. Это значение незначительно отличается (на 0,35 %) от дисперсии, равной приблизительно 2,92. Относительная погрешность вычислена по формуле =abs(D25-H9)/H9 и содержится в ячейке G24.

Поскольку каждое значение на грани кубика может выпасть с одинаковой вероятностью, а в данном эксперименте производилось 500 бросков кубика, можно ожидать что, каждое значение на грани выпадет приблизительно раза. Заметим, что в результате эксперимента количество очков меняется от 72 до 95, отличие от ожидаемых значений составило не больше 14%. Рис. 7 иллюстрирует сходство количества выпавших очков в результате эксперимента и соответствующего теоретического количества очков. Графики, приведенные на рис.6-7 совпадают с точностью до множителя (они подобны).

Рис.3 Обработка результатов эксперимента. Режим отображения данных.

Рис.4. Обработка результатов эксперимента. Режим отображения формул (начало).

Среднее и дисперсия, полученные в результате опыта, могут быть вычислены с помощью встроенных функций MS Excel =СРЗНАЧ($D$31:$D$530) и =ДИСПР($D$31:$D$530) соответственно. Вычисленные значения находятся в ячейке D26 и D27 соответственно. Эти значения совпадают с вычисленными ранее значениями непосредственно по расчетным формулам (ячейки D23 и D24) (рис.4).

Рис.5. Обработка результатов эксперимента. Режим отображения формул (окончание).

Рис. 6 Сравнение долей выпавших очков на гранях кубика и соответствующих значений вероятностей.

Рис. 7 Сравнение количества выпавших очков на гранях кубика в результате эксперимента и соответствующих теоретических значений.

Вывод 1. Доля выпавших значений в эксперименте меняется в пределах от 0,150 до 0,190, что незначительно отличается от теоретической вероятности равной 0,167. Погрешность не превышает 14%

Доля выпавших значений в эксперименте в пределе (с ростом N) должна совпадать с теоретической вероятностью.

Вывод 2. Среднее выпавших значений в результате эксперимента равно 3,584 , что незначительно отличается от математического ожидания равного 3,5. Отличие приблизительно равно 2,4%. Среднее выпавших значений в эксперименте в пределе (с ростом N) должно совпадать с математическим ожиданием.

Вывод 3. Среднеквадратичное отклонение выпавших очков в результате эксперимента от среднего равно 2,927, что незначительно отличается от дисперсии равной 2,92. Отличие приблизительно равно 0,35%. Вычисленное среднеквадратичное отклонение выпавших очков в результате эксперимента от среднего должно быть приблизительно равно теоретическому значению дисперсии и с ростом N разница должна уменьшатся.

Вывод 4. Количество выпавших очков в результате эксперимента и соответствующего теоретическое количество очков незначительно отличаются. Количество выпавших значений в эксперименте меняется в пределах от 72 до 95, что не превышает 14% от теоретического значения равного равной 83. Погрешность не превышает 14%

Количество выпавших значений в эксперименте в пределе (с ростом N) должна совпадать с теоретической частотой.

Пример 2.

Стрелок производит выстрел в цель. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна р=0,4. Пусть случайная величина X – число попаданий в цель при одном выстреле. Составить закон распределения числа попаданий в цель (случайная величина X). Найти для X ее среднее значение (математическое ожидание M(X)), дисперсию D(X).

Построить имитационную модель, моделирующую процесс многократной стрельбы. Вычислить количество попаданий и промахов и их долю от общего количества повторений. Найти среднее количество попаданий и средний разброс относительно среднего.

Расчет провести в MS Excel, повторив имитацию не менее 500 раз. Сравнить полученные результаты с соответствующими теоретическими характеристиками.

Решение: Пусть случайная величина X – число попаданий в цель при одном выстреле. Случайная величина X может принимать следующие значения: х₁=0, х₂=1.

Для составления закона распределения случайной величины X найдем вероятности того, что случайная величина X примет соответствующие значения.

Вероятности события (X=0), то есть Р(Х=0) равна р₂ =1- р₁=0,6 - вероятности промахнуться при одном выстреле.

Вероятности события (X=1), то есть Р(Х=1) равна р₁=0.4 - вероятности попасть при одном выстреле.

Таким образом, искомая случайная величина задается таблицей

Чтобы обеспечить реализацию этой случайной величины в MS Excel используем функцию СЛЧИС(), которая вычисляет значения равномерно распределенной случайной величины в интервале [0;1]. Пусть число является значением функции СЛЧИС(),тогда величина , вычисленная по правилу

будет иметь искомое распределение.

Решение приведено на рис.2.1. Каждому выстрелу соответствует одна строчка таблицы. В интервале $В$27:$В$526 содержатся реализации равномерно непрерывно распределенной случайной величины, полученные с помощью функции «СЛЧИС()». В интервале $C$27:$C$526 содержатся реализации искомой случайной величины, т.е. результат выстрела («0» или «1»). Все остальные расчеты аналогичны примеру 1.

Рис.2.1.

Пример 3.

Стрелок производит три выстрела в цель. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в цель (случайная величина X). Найти среднее значение (математическое ожидание) M(X), дисперсию D(X).

Построить имитационную модель, моделирующую процесс многократной стрельбы сериями (в каждой серии 3 выстрела). Вычислить количество попаданий и их долю от общего количества повторений. Найти среднее количество попаданий и средний разброс относительно среднего.

Расчет провести в MS Excel, повторив имитацию не менее 500 раз. Сравнить полученные результаты с соответствующими теоретическими характеристиками.

Решение:

Решение этой задачи без процесса имитации приведены в описании лаб.раб.№1. Приведем только часть решения связанную с имитацией.

Пусть случайная величина X – число попаданий в цель при трех выстрелах.

Обозначим n – число выстрелов, р- вероятность попадания при каждом выстреле, q - вероятность промаха при каждом выстреле q =1- р . По условию имеем р=0,4 ; q=0,8; n=3.

Заметим, что при n=3 случайная величина X может принимать следующие значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3. Отметим, что испытания проводятся по схеме Бернулли. Действительно, число испытаний конечно и каждое испытание является независимым. В каждом испытании наблюдается либо «успех» (попал в цель), либо «неуспех» (не попал в цель или промахнулся). Вероятность удачи в каждом испытании постоянна.

Решение приведено на рис.3.1. Организуем имитацию следующим образом, чтобы каждая строка соответствовала одному испытанию (серии), а каждая серия состоит из трех выстрелов. Результат каждого выстрела кодируем «0»-промах, «1»-попал. Тогда искомая случайная величина есть сумма результатов трех выстрелов в строке.

Рис.3.1.

Все остальные расчеты аналогичны примерам 1 и 2.

Пример 4.

Пусть случайная величина X задана следующей таблицей

Построить имитационную модель, моделирующую реализацию данной СВ.

Решение: Случайная величина X может принимать следующие значения: х₁=0, х₂=1, , х₃=2.

Чтобы обеспечить реализацию этой случайной величины в MS Excel используем функцию СЛЧИС(), которая вычисляет значения равномерно распределенной случайной величины в интервале [0;1]. Пусть число является значением функции СЛЧИС(),тогда величина , вычисленная по правилу

будет иметь искомое распределение.

Геометрическая иллюстрация этой формулы приведена на рис.4.1. Здесь существенно использовано, то, что длина каждого из интервалов равна заданной вероятности.

Условное выражение с возможностью выбора из трех вариантов в MS Excel можно реализовать с помощью вложенной функции ЕСЛИ(). Однако это решение не рационально, поскольку его реализация становится громоздкой в случае большего количества вариантов выбора. Воспользуемся функцией ВПР().