Какое значение приняла случайная величина х?

Если случайная величина х дискретна и может принимать значения х₁, х₂, …, х_n с вероятностями р₁, р₂, …, р_n, то выпадающее значение х определяется как и в предыдущем случае.

Интерес представляет случай, когда случайная величина х непрерывна и задана плотностью распределения f(x). Например, график плотности случайной величины х, имеющей нормальное распределение в интервале показан на рис. 6.2, а. Заметим, что площадь, ограниченная графиком, равна единице. С помощью этого графика можно определить вероятность того, что случайная величина х будет меньше величины а. Эта вероятность определяется заштрихованной площадью.

Для определения вероятности удобнее использовать функцию распределения F(x), график которой показан на рис. 6.2, б.

Функция распределения F(x) и плотность распределения связаны формулой

. (6.1)

По кривой F(x) можно определить вероятность (см. рис. 6.2, б).

Случайную величину х можно найти по розыгрышу R путем поиска такого значения х, при котором F(x) = R.

На практике часто используется нормальное распределение случайных величин. Для облегчения расчетов при работе с нормальным законом распределения переходят от реальной случайной величины х к нормированной случайной величине:

, (6.2)

где – математическое ожидание,

– стандартное отклонение.

При этом вероятность случайной величины х не превышающей а будет:

, (6.3)

где .

Для определения Ф(t) имеются специальные таблицы.

Розыгрыш значения случайной величины х, меняющейся по закону нормального распределения, осуществляется сложением шести реализаций случайных чисел

. (6.4)

Полученное z имеет распределение достаточно близкое к нормальному. Для обеспечения заданного значения математического ожидания и стандартного отклонения величину z преобразуют

. (6.5)

4. Какую совокупность значений приняли случайные величины х₁, …, х_n?

Если случайные величины независимы, то необходимо n раз повторить процедуру, рассмотренную в предыдущем пункте.

Таким образом, все четыре варианта единичного жребия сводятся к розыгрышу случайного числа R равномерно распределенного на отрезке от 0 до 1.

Сегодня известно несколько разновидностей датчиков случайных чисел.

Самый простой способ – лототрон, или барабан с пронумерованными шариками.

Для розыгрыша случайного числа R могут использоваться подготовленные таблицы случайных чисел, которые часто приводятся в руководствах по теории вероятностей.

Сегодня для статистического моделирования широко применяются ЭВМ, в которых для розыгрыша R используются специальные датчики. Они могут генерировать случайные числа на основе физических устройств, преобразующих случайные шумы, либо на основе специальных алгоритмов, запуск которых чаще всего определяется случайным моментом времени.

Эти программы называют генераторами «псевдослучайных чисел». Один из простых алгоритмов формируется следующим образом: берутся два произвольных n-значных числа а₁ и а₂, перемножаются и в полученном произведении выбираются n средних знаков, образующих число a₃. Затем перемножают a₂ и а₃, после чего выбирают из середины число а₄ и т.д.