Уравнение переноса и диффузии примесей в атмосфере

Перенос идет за счет ветровых потоков с учетом мелкомасштабной флуктуации, имеющей адвективную и конвективную составляющие, которую можно рассматривать как диффузию на фоне осредненного движения согласно розе ветров.

Пусть – интенсивность (концентрация) мигрирующей аэрозольной субстанции втекающей в контролируемую область.

Решение получают в цилиндрической области из уравнения, учитывающего то, что вдоль траектории аэрозольной субстанции сохраняется ее интенсивность

или в развернутом виде

,

где – компоненты вектора скорости ветра

При этом для нижней части атмосферы выполняется закон сохранения массы, т.е. соблюдается условие неразрывности потока:

Таким образом, уравнение переноса примет вид

н.у. при ; г.у. на при <0,

где – заданные функции, а – проекция на нормаль к цилиндрической поверхности /

Начальные условия задают на границе поверхности цилиндрической области, где воздействующие массы втекают в нее при известных .

В случае, если аэрозольная субстанция реагирует со средой или распадается, уравнение переноса примет вид

где – коэффициент определяющий скорость реагирования субстанции со средой, с ^{– 1}.

При (нет ветра), концентрация будет изменяться согласно

откуда

.

При наличии источника субстанции, который выбрасывает загрязнения согласно функции , уравнение переноса примет вид

н.у. при ; г.у. на при <0.

При заданных начальных условиях эта нестационарная задача имеет одно решение. Решать ее сложно, так как – функция времени.

Если считать, что , и (концентрация в точке втекания загрязнения на цилиндрической поверхности) не зависят от времени , то уравнение примет стационарный вид

Это уравнение дает частное решение для заданных начальных параметров. Получая одно частное решение за другим для новых параметров, получают ряд решений, которые могут шаг за шагом описать процесс во времени. При этом, осредняя результаты на заданном интервале времени, мы как бы учитываем процесс диффузии субстанции, вызванный флуктуациями входных данных (параметров).

Однако реальные процессы сложнее.

Например, пусть , тогда нестационарная задача примет вид

н.у. при , причем, если не зависит от времени, то решение задачи имеет вид

,

которое при переходит в решение соответствующей стационарной задачи

т.е. .

Эта простая модель не описывает основных особенностей переноса субстанции от источника , так как даже в безветренную погоду загрязнение расплывается из – за мелкомасштабных вихрей турбулентности.

Указанные вихри учитывает уравнение переноса и диффузии вида

,

н.у. при ,

где ,а и –горизонтальный и вертикальный коэффициенты диффузии, определяемые экспериментально

Простейшее диффузное уравнение при отсутствии ветра для залпового выброса загрязнения может быть представлено в виде

при ,

где – мощность источника; – дельта функция.

При наличии ветра уравнение примет вид

Графические решения уравнений в общем виде представлены на рисунке

Перенос и диффузия тяжелых аэрозолей описывается уравнением, учитывающим оседание аэрозолей в воздухе , которое подчиняется закону Стокса

н.у.: при , г.у.: на боковой поверхности цилиндра C=0; на нижнем основании цилиндра и на верхнем основании .

Это уравнение позволяет определить пылеосаждение на плоскости с площадью меньшей площади основания рассматриваемой цилиндрической поверхности за при . Для этого его интегрируют по в пределах , полагая и

Пошаговое решение этого уравнения имеет качественный вид, представленный на рисунке.