Основные характеристики случайных величин

Случайными называют такие величины, которые принимают свои значения с определенной вероятностью. Поэтому основной характеристикой случайной величины является ее распределение, т.е. закон, который устанавливает связь между значениями случайной величины x_i и вероятностью таких значений p_i.

Закон распределения дискретной величины можно задать в виде таблицы соответствия x_i и p_i.

Пример. Суточная производительность шахты с проектной мощностью 1000 т/сут может быть представлена как случайная дискретная величина в виде таблицы:

Для непрерывной случайной величины закон распределения задют в виде дифференциальной функции вероятности , для которой

.

Пример. Интенсивность осадков W, которая меняется в течении года согласно графику, приведенному на рис. 6.2 а, можно задать функцией , приведенной на рис.б.2 б

Рис. 6.2. Диаграмма осадков и функция ее вероятности.

Функция распределения случайной величины является наиболее полной ее характеристикой.

На практике случайные величины часто достаточно определить числовыми величинами, такими как:

– математическое ожидание;

– дисперсия;

– среднеквадратичное отклонение;

– вариация.

Из них наиболее общую оценку дает математическое ожидание , которое чаще подают в виде среднего арифметического значения случайной величины

,

где n – число выбранных значений.

Пример. Запыленность воздуха у породного отвала, которая измерялась каждый час на протяжении смены, составила: 10; 250; 300; 240; 270; 40; 15, мг/м³. Определить среднесменную запыленность.

=(10+250+300+240+270+40+15)/7=159 мг/м³.

Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания или средний квадрат отклонения от среднего.

.

Дисперсия является высоко чувствительной мерой разброса случайной величины вокруг ее среднего значения.

Пример. Часовой дебит воды в отстойник за 4 часа составил последовательно: 5; 3; 6 и 2 т/ч. Вычислить дисперсию.

=(5+4+6+2)/4=4 т/ч, а

= т²/ч².

Корень квадратный из дисперсии называют среднеквадратичным отклонение . Эта характеристика более удобна, чем дисперсия, так как имеет размерность случайной величины. Так, для предыдущего примера

=1,6 т/ч.

Таким образом, дебит воды можно задать в виде = т/ч.

Относительный уровень колебаний случайной величины вокруг среднего значения имеет название вариации ,%. При этом вариация дебита воды составит =(1,6/4)100=40%.