Пусть зависимость эта задана моделью в виде системы линейных уравнений нянь

; при ,

где q_ij – объемная скорость выброса j–го вещества i–м i – ым предприятием, м³/с.

Требуется. Определить значения концентрации С_j для заданного значения вектора выбросов P_i.

Произведение скорости выброса на концентрацию дает долю каждого вещества в выбросе данного предприятия, а сумма долей должна составить полный выброс.

Очевидно, что задача в такой постановке сводится к решению системы линейных уравнений, т.е. к нахождению корней системы, которые могут быть получены известными методами, например Крамера по схеме Гаусса или Жордана – Гаусса. с построением соответствующих таблиц. Два последних метода позволяют решать систему одновременно для нескольких векторов свободных членов (в нашей постановке – нескольких векторов выбросов, которые, например, регистрируются ежедневно в течении недели).

Кратко остановимся на сущности метода решения системы линейных алгебраических уравнений в матрично–векторной форме.

Пусть дана СЛАУ в матрично–векторной форме .

Ее решение представляется вектором корней , который вычисляется по формуле , то есть определяются умножением обратной матрицы коэффициентов на вектор свободных членов системы.

Обращение исходной матрицы коэффициентов осуществляется по формуле

,

где – детерминант или определитель матрицы; – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Правильность выполненных преобразований проверяют путем умножения исходной матрицы на обратную, в результате чего должна быть полученная единичная матрица, то есть , где .

Проверка правильности найденных корней определяется вычислением разности между левой и правой частями уравнения путем подстановки полученных корней в исходное уравнение :

.

Корни удовлетворяют уравнению системы, если разность между левой и правой частями уравнения равна или близка нулю.