Практическое задание N 2. 16

1. Построить траектории движения десяти пловцов, заканчивающих движение со скоростью V₂ = V₁ / N, где N - номер пловца. Ширина реки H=1000, м, скорость V₁=2, м/с, Vp=1, м/с.

2. Построить траектории движения спортсмена, прыгающего вертикально со скакалкой в поезде. Скорость движения поезда прямолинейна и постоянна Vp=20, м/с. Спортсмен отрывается от пола со скоростью V₁=5,м/с и до касания движется по закону: Y= V₁*t - 0. 5*g*t². Движения повторяются 10 раз с периодом t = 2*V₁/g, где g=9. 81, м/с².

3. Построить траектории движения шести точек на колесе радиусом R=0. 5, м, катящемся по горизонтальной плоскости с постоянной скоростью V=0. 2, м/с. Траектория точки описывается уравнениями:

X = V*t - R₁*sin(fi); Y = -R₁*cos(fi);

где R₁= R +(N-3)*R/2 - радиус N -ой точки, N=1, . . . , 6;

fi= V*t/R, t - время движения 0<=t<=3*(2*Pi*R/V).

Динамика. В задачах динамики рассматривается движение тел под действием сил. Для определения характеристик движения (траектории, скорости и т. д. ) составляются дифференциальные уравнения движения, которые затем интегрируются, а также используются законы сохранения энергии или импульса.

Рассмотрим задачу столкновения двух шаров, движущихся со скоростью V₁ и V₂. Если центры масс соударяющихся тел находятся на общей нормали, проведенной в точку контакта, то удар называется центральным. Например, удар при столкновении двух шаров. При центральном ударе двух тел с идеально гладкой поверхностью справедлива гипотеза Ньютона: проекция скорости на нормаль к поверхности в точке контакта уменьшается после удара в "k" раз. Коэффициент восстановления "k" характеризует потери энергии на тепло при ударе и зависит от материала тел. Используя также закон сохранения импульса, получаем формулу расчета векторов скорости шаров W₁ и W₂ после удара:

W₁ = V₁ + M₂*(1+k)/(M₁+M₂)*(|V₁|*cos(fi₁) + |V₂|*cos(fi₂))*n₁;

W₂ = V₂ + M₁*(1+k)/(M₁+M₂)*(|V₁|*cos(fi₁) + |V₂|*cos(fi₂))*n₂;

Здесь fi₁ и fi₂ - углы между линией общей нормали и векторами скоростей V₁ и V₂ в момент удара.

n₁ и n₂ - векторы единичных нормалей к поверхности шаров в точке контакта.

|V₁| и |V₂| - модули векторов скоростей V₁ и V₂.

Рассмотрим случай построения плоской траектории при столкновении шара "1", движущегося со скоростью "V₁" с неподвижным шаром "2". В проекциях на оси скорость первого шара равна:

W₁x = V₁x + M₂*(1+k)/(M₁+M₂)*|V₁|*cos(fi₁)*n₁x;

W₁y = V₁y + M₂*(1+k)/(M₁+M₂)*|V₁|*cos(fi₁)*n₁y;

n₁

где n₁x=cos(-fi₁+Pi); n₁y=sin(-fi₁+Pi); Y

1

Аналогичный вид имеет формула для W₂x и W₂y, V₁

причем n₂x=cos(-fi₁); n₂y=sin(-fi₁); n₂

Практическое задание N 2. 17X

1. Пренебрегая размерами шаров построить траектории движения двух шаров до и после столкновения. Первый шар движется по горизонтали со скоростью |V₁|=10, м/с, а второй неподвижен (в центре экрана). Массы шаров равны: M₁ = 0. 1, M₂ = 0. 1. Угол fi₁ менять по зависимости: fi₁ = Pi*(5-i)/10, i=1, 2, . . . , 9. Коэффициент восстановления k=0, 55 - для стальных шаров, k=0, 89 - для шаров из слоновой кости.

Многие задачи динамики связаны с расчетом длины пути "L", например, при определении работы сил трения "At":

At = ò Kt*N*dL = Kt*N*L;

^(L)

Здесь Kt - коэффициент трения скольжения,

N - нормальная реакция поверхности (полагается постоянной).

Длина дуги плоской линии находится по формуле:

_{t1 B}

L= òÖ((dx/dt)2 + (dy/dt)2)dt; или L= òÖ(1 + (dy/dx)2)dx;

^{t2 A}

Здесь t - параметр, при задании вида кривой в параметрической форме.

Практическое задание N 2. 18Y

Y_L

1. Определить, длину пути точки, движущейся

в горизонтальной плоскости X0Y по траектории:

1) Эллипс y= Y_L*sin( t ); x= X_L*( 1+ cos( t ))/2; 0<=t<=Pi;

2) Парабола y=4*Y_L*x*(X_L-x)/X_L²; 0<=x<=X_L; 0<=y<=Y_L;

₄) Синусоида y=Y_L*sin(Pi*x/X_L); 0<=x<=X_L; 0<=y<=Y_L; 0 X_L X

Расчет интеграла провести двумя численными методами,

например, с использованием квадратурных формул Гаусса и по формуле Симпсона, для Y_L=10; X_L=15; Построить все траектории движения точки.