Основные подходы к моделированию систем

В основу системы классификации математических моделей могут быть положены следующие типовые группы моделей:

– статические и динамические;

– детерминистские и стохастические;

– дискретные и непрерывные.

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отображающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитываются условия её функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е.

Исходной информацией при построении ММ процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к ММ, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования.

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды. Т.е. имеет место цепочка: описательная модель — математическая схема — имитационная модель.

Понятие математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, средства формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса её функционирования в виде некоторой ММ.

При пользовании математической схемой в первую очередь исследователя системы должен решаться вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Например, представление процесса функционирования ИВС коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания даёт возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах входящих потоков и потоков обслуживания не даёт возможности получения результатов в явном виде.

При построении ММ системы S необходимо решить вопрос о её полноте. Полнота моделирования регулируется, в основном, выбором границ "Система S — среда Е". Также должна быть решена задача упрощения ММ, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные в плане цели моделирования.

ММ объекта моделирования, т.е. системы S можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

- совокупность Х - входных воздействий на S х_iÎХ, i=1…n_x;

- совокупность воздействий внешней среды v_lÎV, l=1…n_v;

- совокупность внутренних (собственных) параметров системы h_kÎH, k=1…n_h;

- совокупность выходных характеристик системы y_jÎY, j=1…n_y.

В перечисленных множествах можно выделить управляемые и неуправляемые величины. В общем случае X, V, H, Y не пересекаемые множества, содержат как детерминированные так и стохастические составляющие. Входные воздействия Е и внутренние параметры S являются независимыми (экзогенными) переменными, Выходные характеристики - зависимые переменные (эндогенные) . Процесс функционирования S описывается оператором F_S:

(2.1)

- выходная траектория. F_S - закон функционирования S. F_S может быть функция, функционал, логические условия, алгоритм, таблица или словесное описание правил.

Алгоритм функционирования A_S — метод получения выходных характеристик с учётом входных воздействий Очевидно один и тот же F_S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных A_S.

Соотношение (2.1) является математическим описанием поведения объекта S моделирования во времени t, т.е. отражает его динамические свойства, такие модели принято называть динамическими моделями. (2.1) - это динамическая модель системы S. Для статических ММ представляет собой отображения множеств {X, V, H} в {Y}, т.е.

(2.2)

Соотношения (2.1), (2.2) могут быть заданы формулами, таблицами и т.д.

Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояния системы S характеризуются векторами:

и , где в момент t^lÎ(t₀, T)

в момент t^llÎ(t₀, T) и т.д. к=1…n_Z.

Z₁(t), Z₂(t)… Z_k(t) - это координаты точки в к-мерном фазовом пространстве. Каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория.

Совокупность всех возможных значений состояний { } называется пространством состояний объекта моделирования Z, причём z_kÎZ.

Состояние системы S в интервале времени t₀<t*£T полностью определяется начальными условиями , где входными , внутренними параметрами и воздействиями внешней среды , которые имели место за промежуток времени t^*– t₀ c помощью 2-х векторных уравнений:

; (2.3)

. (2.4)

иначе: . (2.5)

Время в модели S может рассматриваться на интервале моделирования (t₀, T) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезке длин. Dt.

Таким образом, под ММ объекта понимается совокупность конечных множеств переменных { } вместе с математическими связями между ними и выходными характеристиками . Если операторы F, Ф, воздействия X, V, и характеристики h не содержат элементов случайности, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями:

.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные и др. уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени — конечные автоматы и конечно разностные схемы. Детерминированное моделирование есть частный случай стохастического моделирования.

В качестве стохастических моделей (при учёте случайного фактора) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем — системы массового обслуживания (СМО). Большое практическое значение при исследовании сложных индивидуальных управленческих систем, к которым относятся АСУ, имеют так называемые агрегативные модели.

Aгрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивая взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы). Эти подходы используют при построении математических схем.

Типовыми математическими схемами являются: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т.д. Типовые математические схемы имеют преимущество простоты и наглядности, но при существенном сужении возможности применения.

Для получения математических моделей используют два пути: теоретический и экспериментальный. Соответственно различают теоретические и эмпирические модели.

По степени учёта времени и действующих сил математические модели разделяют на статические, кинетические, динамические.

Статические модели определяют конечные, критические, равновесные значения параметров процесса, системы. К ним относятся модели состояния материала, связи входных х и выходных y переменных.

Статические модели широко используются в обогащении полезных ископаемых при определении энергетических и материальных балансов различных аппаратов и процессов, в том числе проектируемых.

В отличие от статических, кинетические и динамические модели в качестве аргумента содержат время.

Кинетические модели или характеризуют течение процесса во времени и связывают его параметры со временем Их получают интегрированием дифференциальных уравнений при определённых начальных условиях.

Динамические модели описывают закономерности изменения состояния тел, масс под воздействием, приложенных к ним сил F в различных средах. Основа описания динамических моделей – дифференциальные уравнения, которыми описывается подавляющая часть систем автоматического управления. Такие модели описывают переходные режимы в системах.

Требования к математической модели:

1. Математическая модель должна быть пригодна для решения поставленной задачи.

2. Должна учитывать физические и математические ограничения.

3. Должна воспроизводить процесс с необходимой для исследователя точностью, т.е. быть адекватной процессу.

Указания к составлению математической модели:

1. Разложить общую задачу исследования системы на ряд более простых задач.

2. Чётко сформулировать цели.

3. Подыскать аналоги.

4. Рассмотреть численный пример.

5. Выбрать определённые обозначения.

6. Записать очевидные соотношения.

7. Если полученная модель поддаётся математическому описанию, расширить её, а в противном случае упростить.