Порядок построения модели и вывода результатов моделирования

Дальнейшее изложение предполагает знакомство студентов с основными приемами работы в среде Excel.

Задача: мяч подбрасывают вертикально вверх с начальной скоростью на высоте h от поверхности земли. Определить изменение высоты (положение) мяча во времени и проанализировать влияние начальной скорости на максимальную высоту полета мяча.

Построение модели. Закон движения мяча:

, (1.1)

где h – начальная высота мяча над землей; t – время движения мяча; – начальная скорость; g – ускорение свободного падения.

Из условия можно определить момент времени , когда мяч упадет на землю:

. (1.2)

В формуле (1.2) использованы стандартные имена функций Excel.

Моделирование такого процесса целесообразно вести с постоянным шагом изменения модельного времени. Разобьем отрезок времени на n равных частей (n – число шагов, будет определять, по сути, точность модели). В моменты времени определим текущую высоту мяча по формуле (1.1). Затем найдем максимальное расстояние из чисел . Это и будет максимальная высота полета.

Как реализовать изложенную схему вычислений в среде Excel?

В ячейки ряда «Нач. скорость» введем несколько значений скорости (исследуемый параметр), в ячейку «Нач. высота» произвольное значение начальной высоты (она нас не интересует с точки зрения исследования).

В ячейке «Макс. время полета»введем расчетную формулу (1.2), причем в качестве будем использовать максимальное значение ячеек ряда «Нач. скорость (стандартная функция Excel МАКС). В ячейке «Число шагов (n)» введем некоторое число шагов (вопросы обоснования числа шагов в работе не рассматриваются. Очевидно, что это не должно быть 1-2 шага, но и слишком большое число шагов принципиально не меняет схему исследования процесса, а лишь увеличивает размер таблицы). Далее определим постоянный шаг изменения модельного времени . Пример задания исходных и установочных данных для моделирования приведен в таблице 1.1. Собственно модель полета строится далее. В столбец «Время» введем текущее значение модельного времени (формула для расчета: к предыдущему значению модельного времени добавить постоянный шаг ). В столбцы S1, S2 S3 вводятся расчетные формулы (1.1) определения текущей высоты мяча для «своих» значений начальной скорости (при вводе формул для S используется механизм абсолютных адресов и автозаполнение).

Таблица 1.1 – Задание исходных данных для моделирования

Движение мяча
Нач. скорость
	Время	S1	S2	S3
Нач. высота
0,3
Макс. Время полета t_k
3,078
Число шагов (n)

Dt = t_k/n
0,192

Поскольку максимальное время полета мяча было определено для максимальной начальной скорости, по столбцам S для меньших скоростей будут получаться отрицательные значения (мяч упадет раньше и будет продолжать движение ниже нулевого уровня земли). Так как физически это невозможно, то необходимо из расчета исключить получающиеся отрицательные значения. Для этого рекомендуется использовать функцию ЕСЛИ (если результат получился отрицательным, то значение функции равно 0).

В таблице 1.2 приведен вариант расчета для заданных исходных данных таблицы 1.1.

Таблица 1.2 – Модель полета мяча

Движение мяча
Нач. скорость
	Время	S1	S2	S3
Нач. высота		0,3	0,3	0,3
0,3	0,192	2,0	3,0	1,7
Макс. Время полета	0,385	3,4	5,3	2,7
3,078	0,577	4,4	7,3	3,3
Число шагов (n)	0,769	5,1	8,9	3,6
	0,962	5,4	10,2	3,5
t_k/n	1,154	5,3	11,1	3,0
0,192	1,347	4,9	11,6	2,2
	1,539	4,1	11,8	1,0
	1,731	2,9	11,6	0,0
	1,924	1,4	11,0	0,0
	2,116	0,0	10,1	0,0
	Время	S1	S2	S3
	2,308	0,0	8,8	0,0
	2,501	0,0	7,1	0,0
	2,693	0,0	5,1	0,0
	2,886	0,0	2,7	0,0
	3,078	0,0	0,0	0,0

Результат моделирования представляется в виде графиков, используя Мастер Диаграмм (см. рис.1.1).

Отчет по лабораторной работе (файл) должен содержать:

1. На 1-м листе расчет и графики общего примера (движение мяча);

2. На 2-м листе постановку и решение своего варианта задания из перечисленных ниже.

Варианты заданий для лабораторной работы №1.

Вариант №1. Из пушки производится выстрел под углом к горизонту с начальной скоростью снаряда . Построить траектории движения снарядов. Проанализировать зависимость дальности выстрела от угла . Точность (число шагов) – 20.

Расчетные формулы:

, откуда

Точка падения: .

Вариант №2. Из пушки производится выстрел под углом к горизонту с начальной скоростью снаряда . Построить траектории движения снарядов. Проанализировать зависимость дальности выстрела от начальной скорости снаряда. Точность (число шагов) – 20.

Расчетные формулы:

, откуда

Точка падения: .

Вариант №3. Математический маятник с нитью длиной l выведен из равновесия путем отклонения на угол . Определить период колебания и проанализировать влияние на него значения угла .

Расчетная формула:

Коэффициенты выражения, стоящие в скобках, вычисляются рекуррентно, т.е:

где 1, 2, … до тех пор, пока .

Построить графики изменения коэффициентов от номера .

Вариант №4. Точка совершает гармонические колебания с периодом и амплитудой . Начало колебания совпадает с положением равновесия. Смещение и скорость колебания вычисляются по соответствующим формулам. Проанализировать влияние параметра .

Расчетные формулы:

Вариант №5. Точка совершает гармонические колебания с периодом и амплитудой . Начало колебания совпадает с положением равновесия. Смещение и скорость колебания вычисляются по соответствующим формулам. Проанализировать влияние параметра .

Расчетные формулы:

Вариант №6. Построить модель для вычисления биоритмов физического, эмоционального и умственного состояния человека на заданный интервал времени. Физическое, эмоциональное и умственное состояния изменяются со дня рождения циклически с периодом 23, 28 и 33 дня соответственно. Состояние для дня со дня рождения определяется по формуле:

, 23, 28, 33.

Оформить таблицу и построить график биоритмов на текущий месяц для своего дня рождения. Для ячейки с текущей датой применить условное форматирование.

Вариант №7. Превращение вещества в вещество в результате химической реакции описывается следующими формулами:

где и – начальные концентрации веществ и , и – текущие концентрации этих же веществ в момент времени , – константа скорости реакции. Исходные данные для расчета: , .

Определить момент времени, когда вещество полностью превратится в вещество , т.е. , Построить модель реакции и диаграмму распределения концентрации веществ и от начала реакции до момента полного превращения вещества в вещество . Проанализировать влияние константы на время превращения.

Вариант №8. Превращение исходного продукта в результате химической реакции в целевой продукт и побочный продукт описывается следующими формулами:

где – начальная концентрация вещества , , , – текущие концентрации веществ , и в момент времени , и – константы скоростей реакций веществ и .

Определить момент времени, когда вещество полностью превратится в целевой продукт и побочный продукт . Построить и оформить диаграмму распределения концентраций веществ , и . Проанализировать влияние константы на время превращения.

Вариант №9. Превращение исходного продукта в результате химической реакции в целевой продукт и побочный продукт описывается следующими формулами:

Вариант №10. Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

где – гравитационная постоянная, равная .

Вычислить силу взаимного притяжения двух тел различной массы, находящихся на расстоянии . Построить графики зависимости силы притяжения от масс тел.

Вариант №11. Воздух в объеме находится под давлением 0,1 . Количество теплоты , необходимое для нагревания воздуха от температуры до температуры вычисляется по формуле:

Средняя молярная масса частиц воздуха . Удельная теплоемкость воздуха . Пересчет температур производится по формуле , где – температура по Кельвину, – температура по Цельсию. Универсальная газовая постоянная .

Определить количество теплоты, необходимое для нагревания воздуха от температуры , , ,…, . Проанализировать влияние параметра на количество теплоты , необходимое для нагревания воздуха. Построить гистограммы зависимости.