Импульсная переходная функция

Импульсная переходная функция представляет собой реакцию физической системы на входное воздействие вида

(9.3)

где – дельта -функция:

(9.4)

(9.5)

Таким образом, дельта-функцию можно рассматривать как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность и единичную площадь (рис. 9.2). Переходная функция h(t) и импульсная переходная функция связаны между собой соот-ношениями:

(9.6)

Зная импульсную переходную функцию динамической системы, можно определить ее реакцию на любое входное воздействие x(t). Для этого используется интеграл свертки

(9.7)

10. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

В частотной области для исследования динамических (передаточных) свойств физических систем используют математические модели в форме частотных характеристик.

Частотные характеристики позволяют оценить реакцию системы на входной гармонический сигнал любой частоты, а также на сумму гармонических сигналов различной частоты в установившемся режиме.

Для стационарной линейной системы (см. рис. 4.1) математическая модель, связывающая выходной и входной сигналы, может быть представлена в виде амплитудно-фазовой частотной характерис-тики (а-ф.х.):

(10.1)

где − модульа-ф.х. – представляет собой амплитудную частотную характеристику (а.ч.х.);

− аргумент а-ф.х. – представляет собой фазовую частотную характеристику (ф.ч.х.).

Амплитудная частотная характеристика отражает зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты.

Фазовая частотная характеристика отражает зависимость фазового сдвига между выходным и входным сигналами от частоты.

Рассмотренные частотные характеристики используют, например, для исследования устойчивости систем автоматического управления, для оценивания качества переходных процессов в них.

11. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Физические явления, в основе которых лежат законы сохранения массы, импульса, энергии, математически отображаются с помощью интегральных уравнений.

Исследование физических систем, процессы в которых подчиняются законам газовой динамики, гидродинамики, электродинамики, квантовой механики и ряду других, приводит к математическим моделям в форме интегральных уравнений.

Общий вид интегрального уравнения:

, (11.1)

где – ядро интегрального уравнения;

x – независимая переменная;

y(x) – искомая функция;

s – переменная интегрирования;

– заданная функция.

Интегральные уравнения в отличие от дифференциальных не содержат производных искомой функции и, следовательно, не накладывают жестких ограничений на гладкость решения.

Приведем несколько примеров математических моделей в форме ин-тегральных уравнений.

Пример 29. При проектировании деталей и устройств для железнодорожного транспорта, машиностроения, радиоэлектронной аппаратуры проводится исследование напряженно-деформированных состояний создаваемых конструкций. Это необходимо для оценки прочности, долговечности, виброустойчивости изделий.

Анализ напряжений и упругих деформаций в исследуемой физической системе может быть осуществлен на основе следующей математической модели:

(11.2)

где Е – модуль упругости;

– функция влияния напряжения в момент τ на деформацию в момент t.

Пример 30. Решение ряда научных и технических задач (теплотехника, ракетная техника, метеорология, гелиотехника и т. д.) связано с изучением процесса лучистого теплообмена в исследуемой системе твердых тел.

Для замкнутой системы, состоящей из серых диффузно отражающих тел, разделенных прозрачной средой, используется математическая модель в форме интегрального уравнения Фредгольма второго рода:

(11.3)

где – падающее излучение в точке М;

– коэффициент отражения;

– элементарный угловой коэффициент;

– коэффициент поглощения;

– интегральная плотность полусферического излучения абсолютно черного тела.

Решение модели (11.3) дает распределение потоков падающего излучения по поверхности системы при заданных на ней оптических константах и поля температур.

Пример 31. В радиотехнике математическая модель, связывающая принятый радиосигнал с переданным сигналом , представляет собой интеграл свертки

(11.4)

где ядро определяется свойствами приемной аппаратуры и среды, через которую проходит сигнал.

Библиографический список

1. Бенькович Е. С. Практическое моделирование динамических систем / Е.С. Бенькович, Ю. Б. Колесов, Ю. Б. Сениченков. СПб: БХВ-Петербург, 2002. 464 с.

2. Вержбицкий В. М. Основы численных методов: Учебник для вузов/ В. М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2002. 840 с.

3. Васильков Ю. В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании / Ю. В. Васильков, Н. Н. Василькова. М.: Финансы и статистика, 2002. 255 с.

4. Математические основы теории автоматического регулирования / В. А. Иванов, В. С. Медведев и др.; Под ред. Б. К. Чемоданова. М.: Высшая школа, 1977. Т. 1. 366 с.

5. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования / Под ред. В. В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1967. Кн.1. 770 с.

6. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ. / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. М.: Мир, 2001. 575 с.

7. Березин И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. М.: Физматгиз, 1962. Т.2. 639 с.

8. Поль Р.В. Механика, акустика и учение о теплоте: Пер. с нем. / Р. В. Поль. М.: Физматгиз, 1957. 484 с.

9. Корячко В. П. Теоретические основы САПР: Учебник для вузов / В. П. Корячко, В. М. Курейчик, И. П. Норенков. М.: Энергоатомиздат, 1987. 400 с.

10. Заде Л. Теория линейных систем. Метод пространства состояний: Пер. с англ. / Л. Заде, Ч. Дезоер. М.: Наука, 1970. 704 с.

11. Влах И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем: Пер. с англ. / И. Влах К. Сингхал. М.: Радио и связь, 1988. 560 с.

12. Демидович Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Де-мидович, И. А. Марон. М.: Наука, 1966. 664 с.

13. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

14. Плис А. И. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов: Учеб. пособие / А. И. Плис, Н. А. Сливина. М.: Финансы и статистика, 2003. 656 с.

15. Ракитин В. И. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие / В. И. Ракитин, В. Е. Первушин. М.: Высшая школа, 1998. 383 с.

16. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / В. Е. Гмурман. М.: Высшее образование, 2006. 479 с.

17. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы / И.В. Мирошник. СПб: Питер, 2005. 336 с.

18. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Часть 2. Нелинейные и оптимальные системы / И.В. Мирошник. СПб: Питер, 2005. 339 с.

19. Новгородцев А. Б. Теоретические основы электротехники. 30 лекций по теории электрических цепей: Учеб. пособие / А. Б. Новгородцев. СПб: Питер, 2006. 576 с.

20. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б. Р. Левин. М.: Радио и связь, 1989. 656 с.

21. Волков И. К. Случайные процессы: Учебник для вузов / И. К. Волков, С. М. Зуев, Г. М. Цветкова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. 448 с.

Учебное издание

ГОЛУБЕВА Нина Викторовна

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

Учебное пособие

Редактор Н. А. Майорова