Прямые методы

2.2.1.1. Метод Гаусса

Решение СЛАУ осуществляется в два этапа (прямой и обратный ход)

Прямой ход. Исходная система (2.1) путем последовательных преобразований приводится к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений. В результате получается эквивалентная система:

(2.3)

Обратный ход. С помощью подстановки в предпоследнее (n-1)-е уравнение системы (2.3) вычисляется . Подстановкой и в (n-2)-е уравнение определяют . Таким же образом последовательно определяют неизвестные .

П р и м е р 14. Решить систему с тремя неизвестными методом Гаусса:

(2.4)

Прямой ход. Первое уравнение из системы (2.4) разделим на 3:

(2.5)

Из второго уравнения исключим неизвестное Для этого ко второму уравнению прибавим преобразованное первое уравнение, умноженное на (–2). Получим:

(2.6)

или

(2.7)

Разделим уравнение (2.7) на . Получим:

. (2.8)

Из третьего уравнения системы (2.4) исключим . Для этого из третьего уравнения вычтем первое преобразованное (2.5):

(2.9)

или

(2.10)

Разделим уравнение (2.10) на :

, (2.11)

получим систему:

(2.12)

Из третьего уравнения системы (2.12) исключим неизвестное . Для этого к третьему уравнению прибавим второе:

(2.13)

или , (2.14)

откуда выразим : .

Тогда эквивалентная система в треугольном виде примет вид:

(2.15)

Обратный ход. Подставим значение во второе уравнение системы (2.15) и найдем . Подстановкой значений и в первое уравнение найдем .

2.2.1.2. Метод LU-разложения

Если квадратная матрица линейной системы

(2.16)

имеет отличные от нуля главные диагональные миноры, т. е.

(2.17)

то она может быть разложена на произведение двух треугольных матриц – нижней с ненулевыми диагональными элементами и верхней – с единичными диагональными элементами

(2.18)

Поэтому матричное уравнение (2.16) можно заменить уравнением:

(2.19)

Введем вектор вспомогательных переменных Тогда уравнение (2.19) можно записать в виде системы двух векторно-матричных уравнений:

(2.20)

Таким образом, решение системы (2.16) сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами типа (2.3) или (2.15), из которых неизвестные определяются последовательной подстановкой.

Математически это выражается так: из первого уравнения системы (2.20) определяется вектор :

, (2.21)

после чего из второго уравнения системы (2.19) вычисляется вектор :

. (2.22)

Обратные матрицы и существуют, т. к. определители треугольных матриц L и U, вычисляемые как произведения их диагональных элементов, отличны от нуля.

Метод LU-разложения – это фактически метод Гаусса, выраженный в векторно-матричной форме, отличающийся от классического варианта способом хранения матриц.

2.2.1.3. Матричный метод

Если для системы выполняется условие невырожденности матрицыA

, (2.23)

то решение этой системы можно представить в виде:

, (2.24)

где – обратная матрица.

2.2.2.Итерационные методы

2.2.2.1. Метод простых итераций

(последовательных приближений)

Исходная система уравнений (2.1) приводится к виду:

(2.25)

или

(2.26)

Задав начальные (нулевые) приближения для искомых неизвестных:

(2.27)

подставляем их в правую часть системы (2.26). Получаемые при этом в левой части системы значения представляют собой первые приближения:

, (2.28)

где

Подставив первые приближения в правую часть системы (2.26), в левой ее части получим вторые приближения − :

. (2.29)

Таким образом, итерационный процесс описывается соотношениями:

(2.30)

Полученные в результате последовательности итераций приближения: сходятся к истинному решению системы (2.1), в том случае, если для коэффициентов системы (2.26) выполняется хотя бы одно из условий:

; (2.31)

. (2.32)

Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет выполнено условие:

(2.33)

где – заданная точность.

2.2.2.2. Метод Зейделя

Метод Зейделя – модификация метода простых итераций, обеспечивающая ускорение сходимости итерационного процесса к истинному решению системы за счет следующего приема.

Уточненное значение , полученное из первого уравнения системы (2.26) вводится во второе уравнение системы и используется для вычисления . Затем уточненные значения , вводятся в третье уравнение системы (2.26) и используются для вычисления . Таким образом, k-е приближение будет определяться через уточненные в процессе k-й итерации значения . Следовательно, итерационный процесс, реализуемый в методе Зейделя, может быть выражен соотношениями:

(2.34)

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ НЕЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пример формирования модели

П р и м е р15. Моделируемый объект – нелинейная цепь постоянного тока (рис. 3.1). R₂ – нелинейное сопротивление.

По закону Кирхгофа

(3.1)

Нелинейную вольт-амперную характеристику (ВАХ) элемента R₂ аппроксимируем выражением:

(3.2)

Сделаем подстановку выражения (3.2) в уравнение (3.1):

(3.3)

или

(3.4)

f(i)

Соотношение f(i) = 0 представляет собой математическую модель электрической цепи в форме нелинейного алгебраического уравнения относительно тока i. Решение этой модели позволит определить ток i в цепи при заданных значениях U и R₁.

Исследование объектов различной физической природы в установившемся режиме часто приводит к статическим моделям в форме нелинейных алгебраических уравнений.

Алгебраическое уравнение может содержать только алгебраические функции, в которых над переменной x производятся арифметические операции, возведение в степень с рациональным показателем и извлечение корня. Например:

(3.5)

(3.6)

В некоторых задачах моделирование приводит к трансцендентному уравнению.

Трансцендентнымназываетсяуравнение, в состав которого входят трансцендентные функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические функции, возведение в иррациональную степень. Например:

(3.7)

(3.8)