Задача № 8. Моделирование естественной конвекции жидкой стали внутри затвердевающей отливки.

При моделировании потоков жидкой стали внутри затвердевающей отливки часто в качестве моделирующей жидкости используют горячую воду. Моделирование проводят преимущественно применительно к какому-либо конкретному моменту времени затвердевания металла с известными значениями характеристик стали ( - коэффициент расширения, - перепад температур в жидкости, - коэффициент температуропроводности, - кинематическая вязкость и т.д.) и меняются критерии подобия металлического расплава и моделирующей жидкости; в этом случае необходимо строить новую модель.

При моделировании учитывают, что интенсивность охлаждения жидкости определяет скорость ее перемещения и характер потоков. Интенсивность охлаждения жидкости зависит от критерия Нуссельта.

, (8)

где - характерный размер тела;

- коэффициент теплопроводности материала

- коэффициент теплоотдачи от тела во внешнюю среду.

В теории моделирования для естественной конвекции жидкости найдено, что критерий Нуссельта зависит от произведения двух критериев Грасгофа ( - см. задачу 1.4) и Прандтля ( - см. задачу 1.4). Зависимость имеет следующий вид:

(9)

Для моделирования естественных потоков жидкости необходимо, чтобы соблюдалось следующее равенство критериев:

(10)

В выражении (10) произведение можно представить так:

(11)

С учетом выражения (1) уравнение (10) можно записать так:

(12)

Задача ставится следующим образом: соблюдая геометрическое подобие модели по отношению к натуре, найти характерный размер модели , если известны для модели (горячая вода) и натуры (жидкая сталь) значения величин , , , , , , ; , ; , , где , - температуропроводность материала натуры (сталь) и модели (вода); , - плотность жидкой стали при более высокой ( ) и более низкой ( ) температуре; и - температура воды и модели, соответственно в ее центре и на охлаждающейся поверхности; и - удельный объем воды, соответственно в ее центре и на охлаждающейся поверхности.

Из равенства (12)

(13)

В выражении (13) по заданным величинам в условиях задачи величинам необходимо вычислить значения величин и .

Значение для жидкой стали считается следующим образом.

Если и - плотность стали, г/см³, то удельный объем ее равен соответственно и в см³/г.

Из физики известна зависимость объема жидкости при изменении температуры

, (14)

где - коэффициент объемного расширения жидкости,

- разность температур боле холодного ( ) и более горячего объемов.

Выражение (14) для стали можно записать так:

, откуда

. (15)

Для моделирующей жидкости (вода) уравнение (14) запишем так:

, откуда (16)

Таблица 2.8 – Многовариантные задания к задаче № 8 по вычислению характерного размера модели с горячей водой при моделировании естественной конвекции жидкости внутри затвердевающей отливки.

Пример решения варианта 1.

1. По уравнению (15) находим для стали (натура) выражение

.

2. По выражению (16) находим для воды (модель) значение

.

3. По выражению (13) находим размер модели

м.

Ответ: =0,312 м.