Основные этапы математического моделирования

Существует несколько подходов к выделению основных этапов математического моделирования. Приведем некоторые из них.

В. И. Крутова и В. В. Попова выделяют два основных этапа [10]. Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования, задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.

Вторым этапом моделирования является выбор типа математической модели, что является важнейшим моментом, определяющим направление всего исследования. Обычно последовательно строится несколько моделей. Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установить наилучшую из них. На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.

Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем, который также является первым шагом на пути к исследованию модели. При этом осуществляются следующие виды контроля (проверки): размерностей, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, математической замкнутости, физического (экономического, биологического и др.) смысла, устойчивости модели [10].

Поясним, что это подразумевает:

· контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности;

· контроль порядков величин направлен на упрощение модели. При этом определяются порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемые отбрасываются;

· анализ характера зависимостей сводится к проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Направления и скорость, вытекающие из математической модели, должны соответствовать физическому смыслу задачи;

· анализ экстремальных ситуаций сводится к проверке наглядного смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности;

· контроль граничных условий состоит в том, что проверяется соответствие математической модели граничным условиям, вытекающим из смысла задачи. При этом проверяется, действительно ли граничные условия поставлены и учтены при построении искомой функции и что эта функция на самом деле удовлетворяет таким условиям;

· анализ математической замкнутости сводится к проверке того, что математическая модель дает однозначное решение;

· анализ физического смысла сводится к проверке физического содержания промежуточных соотношений, используемых при построении математической модели;

· проверка устойчивости модели состоит в проверке того, что варьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.

С.А. Айвазян, И.С. Енюков и Л.Д. Мешалкин выделяют шесть основных этапов моделирования [1].

1. Исходный этап. На этом этапе осуществляется определение конечных целей моделирования, отбор показателей, включаемых в модель, разделение их на входные и выходные.

2. Формирование априорной информации, т.е. постулирование, математическая формализация и, по возможности, экспериментальная проверка исходных допущений, относящихся к качественному характеру изучаемого явления.

3. Собственно моделирование. На этом этапе устанавливают общий вид модели (структуру, аналитическую и символьную запись).

4. Статистический анализ модели – оценивание неизвестных параметров, входящих в аналитическую запись модели, исследование свойств полученных статистических оценок.

5. Анализ адекватности модели. Заключается в применении различных процедур сопоставления выводов, оценок, следствий, полученных по результатам анализа модели и реально наблюдаемой действительностью.

6. Этап уточнения модели. Проводится лишь в том случае, если необходимы уточняющие исследования, развитие и углубление информации.

Еще один подход к выделению этапов математического моделирования, представленный В.П. Трусовым, изображен на схеме (Рис. 7).

Рис. 7

Поясним выделенные на схеме основные этапы.

1. Обследование объекта моделирования означает, что математические модели, особенно использующие численные методы, требуют для своего построения значительных интеллектуальных, финансовых и временных затрат. Поэтому решение о разработке новой модели принимается лишь в случае отсутствия иных, более простых путей решения возникших проблем (например, модификации одной из существующих моде­лей). Основной целью обследования объекта моделирования является подго­товка содержательной постановки задачи моделирования, т.е. списка основных вопросов об объекте моделирования, интересующих за­казчика.

Приведем пример содержательной по­становки задачи о баскетболисте: необходимо разработать математическую модель, позволяющую описать по­лет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную кор­зину.

Модель должна обеспечить решение следующих задач: вычислять положение мяча в любой момент времени, определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.

Исходные данные: масса и радиус мяча; начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча; координаты центра и радиус корзины.

1. Концептуальная постановка задачи – это сфор­мулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, био­логии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования. Концептуальная постановка позволяет сформули­ровать математическую постановку задачи моделирования, т.е. со­вокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Для контроля правильности полученной системы математичес­ких соотношений требуется проведение ряда обязательных прове­рок (о них упоминают также В. И. Крутова и В. В. Попова):

· Контроль размерностей, включающий правило, согласно ко­торому приравниваться и складываться могут только вели­чины одинаковой размерности.

· Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнитель­ных порядков складываемых величин и исключением мало­значимых параметров.

· Контроль характера зависимостей заключается в проверке того, что направление и скорость изменения выходных па­раметров модели, вытекающие из математичес­ких соотношений, такие, как это следует непосредственно из «физического» смысла изучаемой модели.

· Контроль экстремальных ситуаций – проверка того, какой вид принимают математические соотношения, а также результа­ты моделирования, если параметры модели или их комби­нации приближаются к предельно допустимым зна­чениям, чаще всего к нулю или бесконечности. В подобных экстремальных ситуациях модель часто упрощается, матема­тические соотношения приобретают более наглядный смысл, упрощается их проверка.

· Контроль граничных условий, включающий проверку того, что граничные условия действительно наложены, что они ис­пользованы в процессе построения искомого решения и что значения выходных параметров модели на самом деле удов­летворяют данным условиям.

· Контроль физического смысла - проверка физического или иного смысла исходных и промежуточных соотношений.

· Контроль математической замкнутости, состоящий в про­верке того, что выписанная система математических соотно­шений дает возможность, притом однозначно, решить по­ставленную математическую задачу. Например, если задача свелась к отысканию n неизвестных из некоторой системы алгебраических уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того, что число неза­висимых уравнений должно быть n. Если их меньше n, то надо установить недостающие уравнения, а если их больше n, то либо уравнения зависимы, либо при их составлении допущена ошибка. Однако если уравнения получаются из эксперимента или в результате наблюдений, то возможна постановка задачи, при которой число уравнений превыша­ет n, но сами уравнения удовлетворяются лишь приближен­но, а решение ищется, например, по методу наименьших квадратов

3. Понятие корректности задачи имеет большое значение в при­кладной математике. Например, численные методы решения оправ­дано применять лишь к корректно поставленным задачам. Дока­зательство корректности конкретной математической задачи - до­статочно сложная проблема. Математическая модель является корректной, если для нее осу­ществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок размерности, порядков, характера зависимостей, экстре­мальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и ма­тематической замкнутости.

4. Выбор и обоснование методов решения задачи.

При использовании разработанных математических моделей, как правило, требуется найти зависимость некоторых неизвестных заранее параметров объекта моделирования (например, координат и скорости центра масс тела), удовлетворяющих определенной системе уравнений. Таким образом, поиск решения задачи сводится к отысканию некоторых зависимостей искомых величин от исходных параметров модели. Все методы решения задач, составляющих «ядро» математи­ческих моделей, можно подразделить на аналитические и алгорит­мические.

Аналитические методы более удобны для пос­ледующего анализа результатов, но применимы лишь для относи­тельно простых моделей. В случае, если математическая задача допускает аналитическое решение, оно, без сомнения, предпочтительнее численного.

Алгорит­мические методы сводятся к некоторому алгоритму, ре­ализующему вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ. Точность моделирования в подобном эксперименте существенно за­висит от выбранного метода и его параметров (например, шага ин­тегрирования). Алгоритмические методы, как правило, более тру­доемки в реализации, требуют обширной библиотеки специального программного обеспечения и мощной вычислитель­ной техники.

Общим для всех численных методов является сведение мате­матической задачи к конечномерной. Это чаще всего достига­ется дискретизацией исходной задачи, т.е. переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. На­пример, траектория центра тяжести баскетбольного мяча опреде­ляется не как непрерывная функция времени, а как дискретная функция координат от времени. Полученное решение дискретной задачи принимается за прибли­женное решение исходной математической задачи.

6. Проверка адекватности модели.

Под адекватностью математической модели понимается степень соответствия результатов моделирования – экспериментальным данным или тестовой задаче.

Проверка адекватности модели преследует две цели: убедиться в справедливости гипотез, принятых на этапах концептуальной и математической постано­вок и установить, что точность полученных результатов соответ­ствует точности, оговоренной в техническом задании.

Проверка разработанной математической модели выполняется путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей. В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором – о сравне­нии с результатами решения тестовой задачи.

Решение вопроса о точности моделирования зависит от требо­ваний, предъявляемых к модели, и ее назначения. В моделях, пред­назначенных для выполнения оценочных расчетов, удовлетворительной считается точность 10 - 15 %. В моделях, исполь­зуемых в управляющих системах, требуемая точность может быть 1 - 2% и даже более.

Как правило, различают качественное и количественное совпа­дение результатов сравнения. При качественном сравнении требуется лишь совпадение некоторых характерных особенностей исследуемых параметров (например, наличие экстре­мальных точек, возрастание или убывание параметра). При количествен­ном сравнении большое значение следует придавать точности ис­ходных данных для моделирования и соответствующих им значе­ний сравниваемых параметров.

7. Практическое использование построенной модели.

Независимо от того, в какой области применима построенная модель, необходим количественный и качественный анализ результатов моделирования.

Всесторонний анализ результатов мо­делирования позволяет:

· выполнить модификацию рассматриваемого объекта, найти его оптимальные характеристики или, по крайней мере, луч­шим образом учесть его поведение и свойства;

· обозначить область применения модели, что особенно важ­но в случае использования моделей для систем автоматичес­кого управления;

· проверить обоснованность гипотез, принятых на этапе мате­матической постановки, оценить возможность упрощения модели с целью повышения ее эффективности при сохране­нии требуемой точности;

· показать, в каком направлении следует развивать модель в дальнейшем.

Вышеописанную В.П. Трусовым периодизацию основных этапов математического моделирования, мы считаем наиболее содержательной и полной.

Исследуя научную литературу, мы выделили основные этапы математического моделирования, которые выделены у ряда ученых:

1) Построение модели. Задается некоторый «нематематический» объект – явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи, в том числе на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах установленной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.