Аналитическое моделирование одноканальной СМО. Расчет характеристик системы

Логическая схема простейшей структуры одноканальной СМО приведена на рис.11. Она содержит входной и выходной потоки заявок, накопитель (очередь) и канал (устройство) обслуживания. Сделаем следующие предположения: а) до начала работы в системе нет заявок, т.е. n = 0; б) на входе действует простейший поток заявок с характеристиками (1.11) и (1.16); в) заявки обслуживаются в порядке их поступления (раньше пришла, раньше и обслуживается); г) время обслуживания заявок является независимой и одинаково распределенной по экспоненциальному закону

f(t_об) = me^{-m t}, t ³ 0 (2.1)

случайной величиной, с интенсивностью обслуживания . Следовательно, среднее время обслуживания будет равно M{ } =

Работа системы происходит следующим образом. Очередная заявка поступает в момент времени Если в этот момент времени канал свободен, то заявка сразу поступает на обслуживание и через покидает систему, в противном случае она попадает в накопитель (очередь) и ожидает на время до освобождения канала. Таким образом. Время пребывания заявки в системе равно . Обозначим его Обозначим также - объем накопителя (максимальная длина очереди). При <∞ имеем систему с отказами, а случай означает, что заявки останутся в накопителе до тех пор, пока не будут обслужены, т.е. в принципе

Сперва рассмотрим работу системы без отказов. Через (t) обозначим вероятность нахождения в системе в момент времени t ровно n заявок, n = 0,1… Если n = 0. то канал простаивает с вероятностью , если же n ≥ 1, то одна заявка обслуживается, а n - 1 заявки находятся в очереди. Согласно сделанным выше предположения, Итак, в любой момент времени система может находиться в одном из состояний в зависимости от количества заявок. Рассмотрим промежуток времени ( ) достаточно малой длины > 0, такой, что вероятность поступления одной заявки равна а обслуживание одной заявки - Вероятности не поступления и не обслуживания будут соответственно равны и Тогда переходы из одного состояния в другое будут описываться с помощью вероятностей

а) P_r{S_n ® S_n} = P_n(t)(1 - lDt)(1 - mDt) + P_n(t) (lDt)(mDt),

б) P_r{S_n ® S_{n + 1}} = P_n(t)(lDt)(1 - mDt),

в) P_r{S_n ® S_{n - 1}} = P_n(t)(1 - lDt)(mDt),

г) P_r{S_n ® S_{n ±} k} = v(Dt), k = 2, … , n – k ³ 0.

Эти переходы иллюстрированы на рис.1.2. Через v(Dt) обозначена вероятность достаточно малой величины, удовлетворяющая условию (1.1)

Рис.2.1. Логическая схема работы

одноканальной системы.

Рис.2.2. Переходы состояний системы в

промежутке времени ( ).

Для того чтобы установить закон изменения (t), n = 0,1,…, рассмотрим интервал времени ( ). Согласно выражениям (2.2), для вероятности получим

= (1 - lDt) + lDtmDt + P₁(t)(1 - lDt)mDt) + n(Dt). (2.3)

Слагаемые правой части (2.3) соответствуют переходам и Если перенести в левую часть, разделить обе части нового выражения на и перейти к пределу при с учетом (1.1) получим

dP₀(t)/dt = - l + mP₁(t). (2.4)

Аналогично, для вероятности имеем

= P_n(t)(1 - lDt)(1 - mDt) + P_n(t)lDtmDt +

+ P_n-1 (t)lDt(1 - mDt) + P_n+1 (t) (1 - lDt)mDt) + n(Dt), (2.5)

что соответствует переходам за и Снова перенос (t) в левую часть (2.5), разделение обеих частей полученного выражения на и переход к пределу при с учетом (1.1) приведут к уравнению

dP_n(t)/dt =l P_n-1 (t) – (l + m) P_n(t) + mP_n+1 (t), (2.6)

Уравнения (2.4) и (2.6) описывают так называемые Марковские процессы рождения и гибели, имеющие место в биологических системах и характеризующие демографические процессы, процессы роста популяций и т.п. С помощью этих уравнений описываются также разнообразные явления в химии, физике, экономике, технических и организационных системах.

При заданных начальных условиях для t = 0 получим единственное решение этой системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами и . Практический интерес представляет установившееся решение P_n, n = 0, 1,…, которое можно получить из системы (2.4) - (2.6), полагая в ней dP_n(t)/dt = 0, n = 0, 1,…, при t → ∞. Это решение есть

- l + mP₁ = 0,

l P_n-1 – (l + m) P_n + mP_n+1 = 0. (2.7)

Путем простой подстановки, а также с помощью метода математической индукции, можно показать справедливость формулы

P_n = P₀ ², n = 1, 2, …, (2.8)

где При условии, что <1, ряд сходится к величине и из условия получаем выражение для , равное P₀ = следовательно, из (2.8) получим окончательную формулу для установившихся значений вероятностей в виде

P_n = (1 - ) ⁿ, n = 1, 2, …, (2.9)

Это выражение и определяет распределение целочисленной случайной величины N(t) – числа заявок в системе. Первые два момента этого распределения равны

M{N(t)} =

= (1 - ) (1 +2 +3 ² + …) =

= (1 - ) ( + ² + …) =

= (1 - ) ( ) = /(1 - ),(2.10)

D{N(t)} = M{(N(t) - (1 - ))²} = /(1 - )². (2.11)

При выводе выражения (2.10) сумма представлена как производная суммы по а эта сумма, в свою очередь, при <1 есть сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сходящаяся к величине Рекомендуем студентам самостоятельно вывести выражение (2.11) для целочисленного распределения.

С практической точки зрения важность представляют следующие характеристики:

а) вероятность простого канала (вероятность отсутствия в системе заявок)

б) среднее число заявок в системе

M{ N(t)}=

в) средняя длина очереди

M₀ = ²/(1 - ); (2.12)

г) вероятность занятости канала

P₃ = P_r{N(t) = n > 0} = 1 – P₀ = ; (2.13)

д) среднее время обслуживания заявок

е) среднее время пребывания заявок в системе

доказывается, что для экспоненциального характера поступления заявок с интенсивностью и обслуживания их с интенсивностью время пребывания также распределено по экспоненциальному закону распределения следовательно, среднее время пребывания заявок в системе будет равно

T_пр = M{t_пр} = 1/(m - l), m > l; (2.14)

ж) среднее время ожидания в очереди

T_ож = T_пр - T_об = 1/(m - l) – 1/m = (2.15)

Как видно, величина связана с величиной соотношением Студентам рекомендуется логическим путем обосновать это отношение.