Предисловие ................................................................................................... 3 7 страница

Правда, можно было бы возразить, что термин «модель» в упомянутых двух видах интерпретации употребляется в разных смыслах. Однако это не так. Мы покажем ниже, что и в случаях интерпретации! и интерпретации^ модель как некоторая упро­щенная ситуация изучаемой действительности, в которой выпол­няются принципы теории, является промежуточным звеном между теорией и действительностью, и поэтому оба типа интер­претации пользуются одним пониманием термина «модель».

В литературе о моделях имеются попытки преодолеть про­тивопоставление моделей, употребляемых в теоретических и экс­периментальных науках, и связать функции, которые выполняют модели в этих сферах познания. В этом отношении заслуживает внимания работа П. Саппса, в которой предпринимается по­пытка связать воедино весь спектр значений, б котором употреб­ляется слово «модель» как обозначение определенного средства и связанного с ним метода научного познания. Саппс считает, что такое объединение возможно на основе определения модели А. Тарским «как возможной реализации, в которой выполняются все истинные (valid) суждения теории 7¹».² Понятие модели в смысле Тарского может быть без искажения использовано в ка­честве фундаментального понятия в таких дисциплинах, как ма­тематическая логика, физика, социальные науки и т. п.³

Понятие модели, разработанное логиками, является фунда­ментальным понятием, необходимым для точного изложения лю-

¹ Во избежание путаницы и двусмысленности в дальнейшем, где ока­
жется необходимым, будем называть интерпретацию в первом случае
интерпретацией!, а во втором случае интерпретацией₂ и пользоваться
этим уточнением там, где оно имеет особое значение.

² См.: A. Tarski, A. Mostowski, R. M. Robinson (eds.), Unde-
cidable theories. Amsterdam, 1953, p. 11.

³ См.: P. S u p p e s. A comparison of the meaning and uses of models
in mathematics and the empirical sciences. Synthese, 1960, vol. XII, № 2/3,
p. 289.

бой экспериментальной науки. По мнению Саппса, сближение логического понятия модели и того понятия, которым оперируют физики и представители других частных наук, можно осущест­вить на теоретико-множественной основе, рассматривая любую модель как некое упорядоченное множество, состоящее из сово­купности объектов, отношений и операций. Он замечает при этом, что «многие физики хотят представить себе модель теории атомных орбит как нечто большее, чем определенный род теоре­тико-множественной сущности. Они рассматривают ее как саму конкретную вещь, построенную по аналогии с солнечной систе­мой». «Я считаю важным показать, — продолжает Саппс, — что эти два взгляда не являются несовместимыми». По его мнению, формальное определение модели как теоретико-множественной сущности «не исключает модель такого рода, которая привлекает физиков, ибо физическая модель может быть просто взята для определения ряда объектов в теоретико-множественной модели».⁴

Эти соображения Саппса ценны в том отношении, что они по­казывают искусственность противопоставления понятия модели в логике и математике понятию модели в других науках. Нетрудно увидеть за этим противопоставлением в свете выше­приведенных соображений форму отрицания возможностей при­менения некоторых современных логических, и в частности ма­тематических, методов в различных науках.

Поэтому тенденция Саппса к сближению понятий моделей, употребляемых в разных науках, нам представляется правиль­ной, за исключением, разумеется, общей позитивистской концеп­ции, отгораживающей познание и используемые в нем модели от реального мира.

Ниже мы постараемся показать, что указанные выше два про­тивоположных ответа на вопрос о том, к чему относится интер­претация, ведут к щонятию модели и к построению моделей, хотя и приходят к модели с разных сторон.

Когда в математике пытаются истолковать какую-нибудь аксиоматическую теорию при помощи модели или когда в физике пытаются раскрыть физический смысл, скажем, волновой функ­ции, то модель, если она при этом употребляется, служит сред­ством истолкования теории и является, как станет яснее в даль­нейшем, средством перебросить мост от абстрактной теории к конкретной действительности. Напротив, когда говорят (напри­мер, в кибернетике или биологии) о построении модели мозга или электрических процессов в мозгу или о моделировании эволю­ционного процесса,⁵ то модель выступает как возможное объяс­нение действительности и тоже служит средством перебросить

* Там же, стр. 290—291.

См., например: И. И. Ш м а л ь г а у з е н. Основы эволюционного про­цесса в свете кибернетики. Сб. «Проблемы кибернетики», вып. 4, М., 1960.

мост между теорией и действительностью но, фигурально выра­жаясь, с другого «берега», с другой стороны, со стороны действи­тельности к теории. Хотя эти два направления, на первый взгляд, совершенно противоположны в использовании моделей в качестве интерпретации, но в реальном процессе познания они перепле­таются, выступают в единстве, подобно тому как в познании свя­заны между собой дедукция и индукция, абстрактное и конкрет­ное. Более того, можно заметить, что указанные два направления в применении моделей как интерпретаций являются сторонами соответственно дедуктивного и индуктивного методов. Поэтому, несколько огрубляя, можно даже утверждать, что одно из этих направлений больше свойственно теоретическим наукам, вто­рое — экспериментальным. Но, разумеется, необходима оговорка, вытекающая из понимания диалектического характера процесса познания: указанное различие относительно, поскольку относи­тельно разделение на теоретические и экспериментальные науки.

О роли моделей в интерпретации теорий

Рассмотрим сначала применение моделей в качестве интер­претации в первом из указанных направлений. Это направление, как уже было сказано, характерно прежде всего для логики, ма­тематики и отчасти теоретической физики — вообще говоря, для тех наук, в которых теория имеет дедуктивную структуру и где, следовательно, применяется аксиоматический (дедуктивный) метод.⁶

Как известно, под аксиоматическим методом построения опре­деленной научной дисциплины понимается такое ее построение, когда ряд предложений данной области науки принимается без доказательств, входящие в нее понятия вводятся как неопреде­ляемые, а все остальное знание выводится из этих предложений по заранее фиксированным логическим правилам и законам. Воз­никший еще в античной математике и философии (Евклид, Ари­стотель) аксиоматический метод был в значительной мере свя­зан с его содержательным применением. Последующее развитие аксиоматического метода в XIX—XX вв., начавшееся в связи с работами Н. Лобачевского и Д. Гильберта и продолжающееся в настоящее время,⁷ характеризуется постепенным переходом от содержательного истолкования аксиоматики к формальному построению и пониманию аксиоматического метода как способа

⁶ См.: В. Н. Садовский. Аксиоматический метод построения науч­
ного знания. Сб. «Философские вопросы современной формальной логики»,
Изд. АН СССР, М., 1962, стр. 215 и ел. Автор приводит интересные дан­
ные по аксиоматизации нематематических теорий (стр. 239). См. также:
И. В. Петров. Аксиоматический метод в некоторых теориях эволюцион­
ной морфологии. ВФ, 1959, № 7.

⁷ См.: П. С. Н о в и к о в. Элементы математической логики. Физматгиз,
М., 1960, стр. И.

._оИСТруироиания формальных знаковых (символических) систем. Этот метод крайне плодотворен не только для развития матема­тики, но и для построения и развития символической или мате­матической логики, основным приемом которой является изуче­ние содержательного логического мышления путем его отображе­ния в формальных системах или исчислениях. Такое изучение и есть собственно аксиоматическое построение логики — аксиома­тический метод применительно к логике.

В связи с развитием аксиоматического метода как способа построения формализованных знаковых систем развилась новая ветвь математики. Она называется теорией моделей и, согласно А. Тарскому, «может рассматриваться как часть семантики фор­мализованных теорий».⁸

Способ построения формальной аксиоматической системы сви­детельствует о том, что в ней достигнуто максимальное отвлече­ние от специфики предметных областей, которые в ней могут быть отражены.

В результате этого все первичные, или исходные, термины, знаки некоторых объектов и операций над ними, все первичные аксиомы, теории и выводимые в такой системе теоремы (фор­мулы) рассматриваются с точки зрения их взаимных отношений и связей и безотносительно к тому, что в них отображается. И хотя исторически и фактически аксиоматизация в математиче­ской логике развивалась как попытка формализовать некоторые математические (т. е. содержательные) системы,⁹ принципиально создалась возможность отделить процесс построения собственно аксиоматической системы от процесса выяснения того, что выра­жает такая система, какое содержание в ней отображается, каково в конце концов ее объективное содержание или значение.

Возможность чисто формального построения системы безот­
носительно к конкретному содержанию потребовала анализа про­
блем, возникающих при построении таких систем. Важнейшими
из них являются проблемы: а) непротиворечивости, т. е. недопу­
стимости в данной системе каких-либо двух формул, которые бы
противоречили друг другу; б) независимости, т. е. недопустимости
включения в число аксиом формул, выводимых из других аксиом;
в) полноты, т. е. возможности на основе аксиом данной системы
доказательства или опровержения любой формулы, построенной
в терминах этой системы. - -

А. Т а г s k i. Contribution to the theory of models. Proc. of Konin ■ knjke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, 1954, vol. LXII, № 5, ser. A, p. 570.

⁹ См.: J. G. Kemeny. Models of logical systems. J. Symb. Log., 1948, vel. 13, J\fo i, p_ i9_ Интересно, что Кемени здесь называет эти матема­тические системы «моделями для формализованных логических систем». «JJ этом случае, — говорит он, ■— задаются модели, а затем строят фор­мальные системы, имея эти модели перед собой».

Наряду с анализом этих проблем и в поисках средств их ана­лиза возникала потребность содержательного истолкования зна­ков, употребляемых в подобных системах, выяснения того содер­жания, которое в них заключено.

Таким образом, аксиоматический- метод предполагает решение двоякого рода проблем: во-первых, проблем, которые связаны с исследованием непротиворечивости, полноты и независимости си­стемы аксиом, и, во-вторых, проблем, связанных с необходи­мостью рано или поздно снять исходную формализацию путем рассмотрения реального или возможного содержания построен­ного вышеуказанным образом формализма, т. е. выяснения той предметной области, которую действительно отражает или может отражать исследуемая формальная система.

Для решения этих проблем оказался пригодным метод мо­делей, развитый в логико-математических работах в конце XIX и первой половине XX в. Метод моделей явился средством син­таксического и семантического анализа аксиоматических систем. Метод моделей, поскольку он выступает как вспомогательный способ установления непротиворечивости, полноты и независи­мости аксиом дедуктивных теорий, является способом выяснения того, насколько выполняются формальные условия истинности. Разрабатывая этот метод, А. Тарский, однако, неправомерно придает этому логическому приему слишком широкое гносеоло­гическое значение, что связано с его позитивистской концепцией истины. В этой концепции вопрос об истинности системы счи­тается решенным, если она полностью удовлетворяет этим фор­мальным условиям или правилам формализации и доказатель­ства. Он пишет: «... современная методология предписывает заменять субъективную оценку при рассмотрении определений и доказательств критерием объективного характера и выносить решения относительно правильности определений и доказательств исключительно в зависимости от их структуры, т. е. от их внеш­ней формы».¹⁰

Конечно, формальные условия истинности, т. е. правила опре­делений и доказательств, не являются субъективными, они, как и другие методические правила, отвечающие объективным за­конам реального мира, являются в этом смысле объективными. Однако позитивисты, к числу которых принадлежит и Тарский, под объективностью понимают не соответствие с объективной реальностью и независимость от сознания, а однозначность логи­ческой формы знания в результате применения всеми людьми одинаковых правил, принятых по соглашению. Более того, уже в самой логике имеются явные указания на неправильность све­дения проблемы истинности аксиоматических теорий к согласию

¹⁰ А. Тарский. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. ИЛ, М„ 1948, стр. 182 (курсив наш, —В. Ш.).

17'4

формальными условиями и требованиями их построения. Об этом говорит теорема Гёделя о неполноте, означающая факти­чески невозможность чисто формальными средствами решать проблему объективной истины и необходимость апелляции _в конце концов к свойствам объективной действительности и к критерию практики. «В неполной системе, — справедливо отме­чает Г. Клаус, — имеются истинные предложения, которые не могут быть доказаны средствами системы. Это, в частности, озна­чает, что нельзя отождествлять истинность и доказуемость (в смысле логического дедуцирования), как иногда делают неко­торые идеалисты в логике. Суждение не потому истинно, что его можно вывести логически, — оно истинно в конечном счете лишь тогда, когда отражает действительность».¹¹

Однако в рамках решения более узкой задачи, выяснения формальных условий истинности и исследования структуры и возможных вариантов развития теории, доказательство внутрен­ней непротиворечивости имеет большое значение для принятия, а обнаружение противоречивости — для опровержения данной теории.

Метод моделей является важным вспомогательным средством решения этих проблем. Суть этого метода состоит в том, что для исследования непротиворечивости какой-нибудь формальной ак­сиоматической теории задается ее модель. При этом под моделью аксиоматической теории понимают просто систему объектов, взя­тую из некоторой другой теории и удовлетворяющую аксиомам данной теории.¹² Часто и саму эту теорию, предметная область которой берется в качестве модели первой теории, тоже называют моделью, что, на наш взгляд, является неудачным и не позво­ляет раскрыть ни специфику, ни функции интерпретации. Говоря, что модель — это не теория, а система объектов, следует подчеркнуть, что здесь речь идет об идеализированных объектах, которыми могут быть, например, системы, состоящие из нату­ральных чисел, отрезков, высказываний, классов и т. д.,¹³ так как только о таких объектах можно говорить, что они полностью удовлетворяют аксиомам данной теории.

¹¹ Г. Клаус. Введение в формальную логику. ИЛ, М., 1960, стр. 385.

¹² См.: С. К лин и. Введение в метаматематику. ИЛ, М., 1957, стр. 54.
А. Тарский уточняет понятие модели при помощи понятия о выполнимо­
сти (concept of satisfaction) в работе: А. Т а г s k i. Logic, semantic, me-
tamathematics. Oxford, 1956, p. 416; ср.: А. Тарский. Введение в логику
и методологию дедуктивных наук, стр. 170—174.

¹³ Мы отвлекаемся здесь от того, как вводятся эти идеализированные
объекты в теорию. При аксиоматическом методе с самого начала в ка­
честве допущений или условий кладется в основу некоторая система
аксиом относительно системы объектов, удовлетворяющих этим условиям.
При генетическом (конструктивном) методе объекты задаются указанием
на способ их порождения (правила порождения) (см.: С. Клин и,
УК. соч., стр. 31).

Само собой разумеется, что условием эффективности этого ме­тода является не только изоморфизм между моделями теорий, но и выполнимость каждой теории в соответствующей модели, так что имеет место отношение, которое можно наглядно пред­ставить в виде следующей схемы:

изоморфна
Теория I ................................................... Теория II

Модель теории I

изоморфна

Модель теории. II

При этом выполнимость теории в моделях определяется усло­виями построения аксиоматических теорий, а изоморфизм мо­делей— некоторыми объективными свойствами самих моделей.¹⁴

Использование модели как способа доказательства непроти­воречивости некоторой теории состоит в том, что модель данной теории сопоставляется с моделью другой теории и если оказы­вается, что модели изоморфны друг другу, то соответствующие теории, которым удовлетворяют изоморфные модели (или реали­зациями которых эти модели являются), обладают одинаковой логической структурой. Это значит, что способ доказательства теорем в одной теории аналогичен способу доказательства их в другой теории, в частности, если изоморфны модели этих тео­рий, то это является основанием считать, что непротиворечи­вость одной теории доказывается непротиворечивостью другой. Таким образом, оказывается, что изоморфизм существует не только между моделями, но и между .теориями. А это значит, что в известных пределах, а именно, когда сопоставляются абстракт­ные логические структуры в отвлечении от содержания, а следо­вательно, и от отношения к реальным объектам, к той или иной части объективной реальности, и только в этих пределах можно рассматривать модель и теорию как понятия относительные, «оборачиваемые».

В описываемом методе модель, будучи средством доказатель­ства непротиворечивости, полноты данной теории, является одно­временно и орудием сравнения и анализа логической структуры различных теорий.

Необходимо указать, что в истории научного познания этот метод действительно использовался с большим успехом. Так,

¹⁴ От этого обычно при использовании данного метода отвлекаются, а затем забывают об этом отвлечении, так что создается иллюзия полного произвола в соотнесении систем, из которых одна выступает как модель другой.

апример, непротиворечивость геометрии Лобачевского была до­казана Ф. Клейном на модели, построенной в терминах геомет-_и Евклида путем соответствующей интерпретации («переиме­нования») терминов гиперболической геометрии. Для доказа­тельства непротиворечивости геометрии Евклида необходимо построить соответствующую ей арифметическую модель. Возмож­ность построения такой модели была замечена в открытии метода _коорд_Инат Декартом, показавшим изоморфизм основных геометри­ческих образов (прямых, плоскостей, кривых и т. п.) и их анали­тических интерпретаций (моделей) в терминах алгебры и анализа. Используя методы аналитической геометрии, можно интерпретиро­вать систему аксиом геометрии в пределах арифметики, и наобо­рот, система аксиом арифметики может быть интерпретирована на геометрической модели.

Таким образом, метод. моделей был фактическим способом обоснования новых теорий в математике, приемом доказательства их непротиворечивости, так как противоречие в одной теории порождало бы противоречие в другой, как отсутствие противо­речий в одной свидетельствует о таком же свойстве другой. Однако нельзя найти теорию, которая явилась бы последней ин­станцией в этом методе. Теория, посредством которой происходит интерпретация и которая дает модель, все равно нуждается в обосновании. Поэтому метод моделей даже в этом его приме­нении не отрицает того факта, что критерием истины и для ма­тематической теории является практика.¹⁵

Подобные же отношения существуют и между различными логическими теориями, и применение здесь метода моделей весьма плодотворно для обобщений подобных закону дедукции (теорема, дедукции).

Как показало развитие кибернетики, имеется возможность при определенных условиях путем соответствующей интерпрета­ции исчисления высказываний из теорем этой логической теории получить теоремы теории электрических цепей и релейно-кон-тактных схем, принадлежащие области электротехники. «Теория моделирования логических исчислений является важным источ­ником методов анализа и синтеза релейных систем и имеет перво­степенное значение для создания логических машин»,¹⁶ — гово­рит В. И. Шестаков, посвятивший ряд работ исследованию связи между логическими операциями в различных исчислениях и переключательными операциями в релейно-контактных схемах.

См. об этом подробнее: Г. И. Рузавин. Специфика практики как критерия истины в математике. -Сб. «Практика — критерий истины в науке», М., 1960, стр. 121—154.

_ц В. И. Шестаков. Моделирование операций исчисления высказы­ваний посредством релейно-контактных схем. Сб. «Логические исследо­вания», Изд. АН СССР, М., 1959, стр. 315.

12 в. а. Штофф 177

В целом же развитие современной формальной (математи­ческой) логики и кибернетики показало возможность модели­рования на соответствующих устройствах не только исчисления высказываний, но и других формальнологических теорий.

Такое моделирование логических 'исчислений позволяет ис­пользовать различные логические системы для решения тех или иных технических задач и указывает на сферу практического применения логических теорий. Вместе с тем моделирование выступает как способ обнаружения объективного содержания таких теорий, т. е. практического доказательства того, что они являются не произвольными построениями, а своеобразными отображениями имеющихся в объективном мире связей и отно­шений. Совершенно прав Э. Кольман, подчеркивая возможность моделирования неаристотелевых формальных логик, построенных «подобно неевклидовым геометриям непроизвольно, не просто как игра ума, а так, чтобы они имели или могли получить отве­чающее действительности истолкование».¹⁷

Следует обратить внимание на тот факт, что употребление метода моделей для интерпретации аксиоматической системы всегда покоилось на том допущении, что доказательство непроти­воречивости некоторой системы на модели верно лишь в том слу­чае, если непротиворечива модель. Но, как хорошо известно в логике и математике, из теоремы Гёделя, а в философии — из принципов теории отражения, не может быть такой системы или такой модели, в отношении которых могли быть доказаны непро­тиворечивость, полнота и независимость аксиом только из их собственного формализма без всякого обращения к другим (как говорят, предшествующим) дисциплинам или системам, без обра­щения в конечном счете к практике, опыту.

Развитие аксиоматического метода, его успешное примене­ние в ряде отдельных областей и в особенности метод моделей указывают на невозможность ограничиться чистым формализмом в построении здания науки в целом. Метод моделей предполагает не только общность логической структуры разных теорий, но и различие предметных областей этих наук, а, это последнее свя­зано с тем самым содержанием, от которого мы сначала отвле­кались.

Отсюда следует, что метод моделей имеет значение не только как средство анализа логической структуры аксиоматических теорий и способ доказательства непротиворечивости, полноты (или вообще исследования теорий с этой точки зрения). Он вместе с тем в той или иной степени указывает на пути не просто содержательной интерпретации формализованной теории,

¹⁷ Э. Кольман. О философских и специальных проблемах киберне­тики. Сб. «Философские вопросы кибернетики», Соцэкгиз, М., 1961, стр. 101.

и на ту область явлений объективного мира, которую данная теория отображает. Он имеет, следовательно, не только логиче­ское, но и гносеологическое значение, выводя из области чистой логики, чистых формализмов в область предметную, содержатель­ную и подводя непосредственно к проблеме отношения теории к объективной действительности.

Здесь мы подходим вплотную к выяснению одной из важней­ших функций, которую выполняют модели в дедуктивных нау­ках, в теориях высокого уровня абстрактности, являясь орудиями семантической интерпретации подобных теорий.

Интерпретация, применяемая в дедуктивных науках, обычно подразделяется на два вида: эмпирическую и семантическую. В своем интересном и содержательном анализе проблемы интер­претации в дедуктивных науках С. Б. Крымский справедливо от­личает так называемую естественную интерпретацию, основан­ную на интуитивном отнесении некоторой теории к наблюдаемым явлениям, от строгой интерпретации, свойственной теориям вы­соких уровней абстрактности.¹⁸ Вследствие формального, абстракт­ного характера таких теорий становится невозможным прямое сопоставление их терминов, понятий и утверждений с непосред­ственно данной в опыте объективной реальностью. Процесс сопо­ставления абстрактных теорий с объективной действительностью усложняется, и поэтому процедура интерпретации требует соответ­ствующей формализации. Это достигается двумя путями. В эмпи­рической интерпретации решается вопрос, каким образом поня­тия теории и термины теоретического языка связаны с эмпири­ческим содержанием. «Эмпирическая интерпретация осуществляет перевод знания из теоретической сферы на уровень эмпириче­ского языка, т. е. на язык экспериментов. Эмпирическая интер­претация есть поэтому такое определение терминов теоретиче­ской системы, когда в качестве их значений выступают экспери­ментальные результаты наблюдения определенных объектов, которые рассматриваются как „факты" или „денотаты", именуе­мые соответствующими терминами нашей системы».¹⁹

Однако эмпирическая интерпретация по меньшей мере не­полна, так как ограничивается только установлением соответст­вия выводимых из теории следствий с непосредственными на­блюдениями экспериментально регистрируемых эффектов (по­казания приборов), и, таким образом, объективное содержание исходных теоретических терминов, понятий, утверждений теории не раскрывается или, как говорят физики, физический смысл подобных теорий остается неясным. Многие позитивисты, как

См.: Логика научного исследования. Изд. «Наука», М., 1965, стр. 128 ¹⁹ Там же, стр. 134.

12* 179

например Р. Карнап, считают, что наука может ограничиться эмпирической интерпретацией, так как не существует никакой возможности выйти за пределы наблюдений и восприятии. Объявляя подобный выход метафизикой, они фактически отри­цают возможность установить объективное содержание абстракт­ных научных теорий, таких, например, как квантовая электро­динамика, квантовая механика, релятивистская теория тяготения, релятивистская космология и т. п., так как теоретические тер­мины и абстрактные понятия этих теорий не имеют своих наблюдаемых непосредственно эквивалентов. Отсюда и происте­кает свойственное значительной части позитивистов отрицание семантической интерпретации в смысле отыскания объектов, не данных непосредственно в опыте, но существующих объективно, к которым могут быть отнесены исследуемые теории, их по­нятия и термины с помощью промежуточных моделей. К та­ким же гносеологическим выводам приходит и операционализм с его требованием ограничиться только лишь операциональными определениями терминов, т. е. определениями, указывающими на экспериментальные операции и процедуры измерений, с по­мощью которых устанавливается эмпирическое значение соот­ветствующих теоретических терминов.

Очевидно, что неполнота эмпирической интерпретации, воз­водимая в абсолют, есть источник агностицизма. Преодоление не­полноты и ограниченности эмпирической интерпретации проис­ходит при помощи семантической интерпретации. Интерпрета­ция при помощи моделей, или моделирующая интерпретация, как называет ее С. Б. Крымский, является важной формой семантической интерпретации. Благодаря тому что условия по­строения модели для теории и соотнесения модели с реальными объектами точно фиксированы (в частности, с помощью метода аналогии), моделирующая интерпретация является достаточно строгой.

В такой интерпретации модель и является промежуточным звеном от теории к действительности, она помогает перебросить мост от первой ко второй, позволяет наметить, по крайней мере в общих чертах, применимость той или иной теории на практике в той или иной области действительности и вместе с тем указы­вает на пути и способы экспериментальной проверки теории, а следовательно, тех допущений, условий, гипотез, которые со­держались в ней в качестве аксиом и теорем.

Если мы в качестве примера возьмем аксиомы евклидовой геометрии, то увидим, что они представляют собой некоторые суждения относительно таких объектов, как «точки», «прямые» и «плоскости». Однако в физическом мире таких объектов нет. Поэтому геометрию нельзя рассматривать как теорию, непо­средственно описывающую объекты физического, материального мира, ее теоремы строго выполняются лишь по отношению к не-

которым идеализированным объектам. Эти идеализированные объекты — «точки», «прямые», «плоскости» и отношения междз ними (отношения принадлежности, порядка, конгруэнтности, параллельности) представляют собой идеальную и идеализиро­ванную модель, в которой точно выполняются все указанные аксиомы так, что мы можем говорить о выполнимости аксиом и теорем геометрии в ее модели, т. е. в некоторой системе идеали­зированных объектов. Когда же мы утверждаем, что геометрия Евклида описывает реальное трехмерное пространство матери­ального мира, мы предполагаем, что имеется соответствие между этой моделью и определенной частью объективного мира и это соответствие имеет характер гомоморфизма. Иными словами, мы предполагаем, что аксиомы и теоремы геометрии непосредственно описывают модель, которая состоит из идеализированных объек­тов, и благодаря гомоморфизму этой модели и реальной действи­тельности описывает также эту последнюю. Модель здесь высту­пает как опосредующее звено, находящееся между теорией pi реальным миром, его свойствами.