Предисловие ................................................................................................... 3 1 страница

Учебно-методический комплекс

дисциплины

Сдано в набор 21.01.2009. Подписано в печать 13.03.2009.
Формат 60х90/8. Гарнитура Times. Бумага офсетная. Печать оперативная.
Усл. печ. л. 13,1. Тираж 50 экз.
Заказ 2315, с. (сп.) 2135.

Редакционно-издательский отдел Бийского педагогического государственного
университета им. В.М. Шукшина - 659333, г. Бийск, ул. Короленко, 53.

УППЛ Бийского педагогического государственного
университета им. В.М. Шукшина - 659333, г. Бийск, ул. Короленко, 55/1.

Ту-____

fl

mw²

= idem,

j I, m, w — соответственно отношения сил, расстояний, масс

_кдростей в сопоставляемых системах. Вывод этого критерия

„_nrintif(ft покоится на II законе Ньютона как объективно суще-

ПОД*-''-'-¹ пе

йем законе природы/⁰ которому одинаково подчиняются

> ^{так и} образец, выводе критериев подобия для систем, характеризуемых

₀{ величинами, как вязкость, плотность, ускорение силы

₂₃ jj Ньютон. Математические начала натуральной философии.
,_{т ig}j6, стр. 376—378.

24 М В. Кирпиче в. Моделирование тепловых устройств. Изд.
гГО?> ^м-—Л., 1936, стр. 9.

25 cV^{: м}- ^в- Кирпиче в.Теория подобия. Изд. АН СССР, М., 1953,

r,ri -а СЛ. стр. 27 »

тяжести и т. д., используются другие объективные законы, также определяющие область механического движения — закон Архимеда, зако.н Ньютона для движения вязкой жидкости и т. д.

В случае же исследования теплового подобия и установления критерия подобия тепловых систем последние рассматриваются как молярные,²⁶ макроскопические системы в отвлечении от спе­цифики и внутренней природы теплового движения с его спе­цифическими статистическими закономерностями хаотического беспорядочного движения молекул. Поэтому для получения кри­териев подобия тепловых систем и установления правил модели­рования тепловых устройств опираются на такие макроскопиче­ские по существу законы, как законы теплообмена, учитывая при этом также условия геометрического и механического подобия.²⁷

Таким образом, теория подобия ограничивается установле­нием соотношения между качественно однородными явлениями, между системами, относящимися к одной и той же форме дви­жения материи. Она дает правила моделирования для случаев, когда модель и натура обладают одинаковой (или почти оди­наковой) физической природой. Сами же эти правила — теоремы, устанавливающие условия подобия (требование инвариантности критериев), вытекающие отсюда правила экстраполирования ре­зультатов опыта на объект, а также правила построения моде­лей —основаны на существовании законов механического движе­ния или, вообще говоря, на общности законов той области явле­ний, к которой относятся модель и натура.

Отношение между моделью и объектом в системах, принадлежащих к различным формам движения материи

Экспериментирование с моделями, обладающими одной физической природой с натурой, страдает существенными недо­статками, ограниченными возможностями, а в ряде случаев про­сто неприменимо. «Недостатки этого метода, — говорят Л. И. Гу-тенмахер, — состоят в том, что изготовление моделей занимает часто много времени, стоимость моделей обычно велика, а глав­ное, методы измерения искомых величин большей частью грубы, неточны и искажают изучаемое явление».²⁸

Поэтому практика моделирования, построения эксперимен­тальных моделей вышла за пределы сравнительно ограниченного круга механических явлений и вообще отношения системы в пре­делах одной формы движения материи. Возникшее и быстро раз-

^2б См.: М. В. Кирпич ев. Теория подобия как основа опыта. Вести. АН СССР, 1945, № 4—5, стр. 66.

_м См.: М. В. К и р п и ч е в и М. А. Михеев, ук. соч., стр. 19—22. Л. И. Гутенмахер. Электрические модели. Изд. АН СССР, М.-Л, 1949, стр. 10.

вившееся в последние десятилетия математическое (в частности, электрическое) моделирование, которое заключается в построе­нии и экспериментальном исследовании моделей, отличающихся по своей физической природе от моделируемого объекта, позво­лило преодолеть ограниченные возможности физического моде­лирования.

При математическом моделировании основой соотношения моделынатура является такое обобщение теории подобия, которое учитывает качественную разнородность модели и объекта, при­надлежность их к разным формам движения материи. Такое обобщение принимает форму более абстрактной теории изомор­физма систем.

Понятие изоморфизма и более общее понятие гомоморфизма можно рассматривать как уточненные, формализованные виды аналогий.²⁹ В отличие от логического аргумента по аналогии и тем более от смутных и невыясненных аналогий аналогия, на которой основывается использование моделей в науке, представ­ляет собой, как уже было замечено, некоторое отношение между системами, а именно отношение сходства, но не тождества.

Для аналогии как отношения сходства характерны различие сопоставляемых элементов и одинаковость (тождество) отноше­ний, т. е. законов связи между элементами двух систем. Изомор­физм представляет собой взаимно однозначное (двустороннее) соответствие таких систем, гомоморфизм — соответствие лишь в одну сторону.³⁰

С отношением аналогии мы встречаемся при математическом моделировании. Здесь отношение между моделью и объектом, позволяющее относить результаты экспериментального исследо­вания модели к соответствующим свойствам образца и, наоборот, создавать электрические модели для воспроизведения соответ­ствующих свойств образца, является аналогией и на уровне структур, и оно основано на тождестве математической формы различных законов природы.

Поэтому метод физических аналогий, опирающийся на изо­морфизм систем, представляет собой обобщение теории подобия на случаи отношений между системами, каждая из которых от­носится к различным формам движения материи. Если в теории подобия инварианты, или критерии подобия, модели и образца, выводятся на основании действия одних и тех же законов при­роды (физических законов), то учение об аналогии, или теория изоморфизма физических процессов, выводит критерии подобия, опираясь на факт тождественности математической формы у раз­ных законов. Здесь уже рассматриваются не только разные в пре-

²⁹ См.: Д. П о й а. Математика и правдоподобные рассуждения. ЙЛ,
М., 1957, стр. 47-49.

³⁰ Более полное определение изоморфизма см. в следующей главе.

делах одной формы движения, но и разные физические законы, действующие в разных областях природы.

В истории физики подобные физические аналогии, состоящие
в совпадении, сходстве математических законов, часто использо­
вались в эвристических целях. Так, еще Гамильтон в 1834 г.
обратил внимание на то, что принцип кратчайшего пути свето­
вого луча (принцип Ферма) и принцип наименьшего действия
в механике (принцип Мопертюи) сходны между собой и выра­
жаются в одинаковой математической форме, а именно
в
[ — = min (и — фазовая скорость света); (1)

л

в

f vds = min (v — скорость движения материальной точки). (2)

А

Сравнение этих формул показывает, что, несмотря на разли­чие оптических и механических явлений, структура их законов одинакова, так как механическая скорость в теореме Мопертюи играет ту же роль, что обратная величина волновой скорости в теореме Ферма.

Математическое моделирование также основано на подобных аналогиях.

Наиболее распространенным и развитым в салу своих широ­ких практических возможностей, гибкости, экономичности и удобства видом математического моделирования является элек­трическое моделирование, в частности электромоделирование ме­ханических систем и процессов. В последнем случае средством модельного эксперимента является электрическая модель меха­нической системы, характеризующаяся полной структурной ана­логией (рис. 1) .

Каждый элемент механической системы — упругости (пру­жина К), накопителя энергии (масса М), рассеяния энергии (демпфер D) — представлен соответствующим элементом элек­трической модели — индуктивности (катушка L), емкости (кон­денсатор С), сопротивления (R). Данный тип аналогии яв­ляется примером первой системы электроаналогии. Вообще же существует три системы электромеханических аналогий.³¹

Первую систему предложил Максвелл.³² В этой системе заряд соответствует перемещению, сила тока — скорости, напряже­ние — механической силе. Позже была введена вторая система электромеханических аналогий, в которой элементы сопостав­ляются иначе, а именно сила тока соответствует механической силе, электродвижущая сила — скорости, магнитный поток —

³¹ См.: JI. И. Гутенмахер, ук. соч., стр. 12—13.

³² См.: J. С. Maxwell. A treatise on electricity and magnetism. Ox­
ford, 1892, pp. 365—366.

перемещению. В последнее время была открыта третья система, в которой все искомые переменные механической системы можно представлять только одной физической величиной — напряже­нием в определенных точках электрических цепей. В этой си­стеме напряжение в одной точке цепи соответствует перемеще-

шшшш

т

а

д

Рис. 1. Электрическая модель (6) механической

системы (а), основанная на первой системе

электроаналогий.

нию, напряжение в другой точке цепи — скорости, напряжение в третьей точке цепи — механической силе.

Сводя все три аналогии вместе, получаем таблицу, в которой сопоставлены элементы систем..

Элементы

Трения.

Упругости.

Массы.

Сопротивления.

Емкости.

Индуктивности.

Сопротивления. Индуктивности. Емкости.

Емкость 1

Примечательно, что во всех четырех системах элементы, которые соответствуют друг другу, не только различной физиче­ской природы, не только, следовательно, различны по качеству, но могут и сопоставляться по-разному: в одном случае переме­щению соответствует электрический ток, в другом — магнитный поток и т. д. Конечно, эта относительная произвольность сопо­ставления ограничена объективными признаками, обусловливаю-

щими наличие сходства между сопоставляемыми элементами в том или ином отношении. Но в рамках этих ограничений имеется, как мы видели, известная произвольность такого сопо­ставления. Однако форма отношения, в котором эти элементы находятся друг к другу (или вид закона, которым они необхо­димым образом связаны), например в трех первых системах, одинакова.

Эта тождественность математической формы уравнений свя­зана с аналогичностью законов движения разных областей при­роды.

Так, в механическом движении уравнение для отклонения пружины показывает, что сумма всех внешних сил, действующих на массу, равна силе инерции данной массы (при условии, что тело в начальный момент находилось в покое), т. е.

d&

dt

(3)

Важно подчеркнуть, что физической основой этого уравнения являются закон Ньютона и принцип Д'Аламбера.

В электрических системах уравнение для участков электри­ческой цепи, составленной из последовательно соединенных эле­ментов (рис. 1, Ъ) R, L, С, утверждает, что сумма падений на­пряжений в замкнутом контуре равна нулю, т. е.

~яп т •" ~J7 ~г т⁷"^{== e}W> (4)

где q(t) —\idt. Физической основой этого уравнения является

о закон Кирхгофа.

Эти уравнения формально подобны и представляют собой основу первой системы электромеханической аналогии.

Уже отсюда видно, что объективной основой данной системы аналогий является тождество математической формы законов механического движения и законов электричества.

Вторая система электроаналогий основана также на тожде­стве математической формы законов этих форм движения. Ме­ханическую систему можно промоделировать в электрической иным образом, если электрическую цепь составить из парал­лельно включенных R, L, С (рис. 2). Тогда с механическим пере­мещением будет сопоставлен не заряд (как в первой системе электроаналогий), а величина магнитного потока <р, механической силе — сила тока, упругости — индуктивность и массе — емкость. Уравнение для суммы токов в узловой точке, полученное со­гласно закону Кирхгофа для тока, будет иметь вид

4-

В

(5)

t

где ф = j edt. Это уравнение также формально тождественно

о

уравнению (3), как и уравнение (4). Поэтому механическая си­стема, описанная уравнением (3), может быть также исследована на модели, описываемой уравнением (5).

Из сказанного ясно, что тождественность математического формализма в подобных случаях является не просто удобным способом, который может использоваться или не использоваться в зависимости от желания, а выражением объективных отноше­ний, существующих между законами природы. У. Карплюс

в своем изложении метода аналогии
совершенно правильно, в духе мате­
риалистической гносеологии отме­
чает: «Источником аналогии явля­
ется тот факт, что законы Кирх­
гофа, используемые для уравнений
(4) и (5), являются проявлением ос­
новных принципов, лежащих в ос-
Рис. 2. Электрическая мо- ^нове большинства разделов физи-
дель механической системы, ки, — закона сохранения энергии и
основанная на второй системе закона непрерывности» ³³
электроаналогий m

I ождественность математической

формы законов природы, выражаю­щих структуру систем, принадлежащих к качественно различ­ным областям явлений, давно привлекала к себе внимание тео­ретиков естествознания. Так, Максвелл, обсуждая метод физиче­ских аналогий, обращал серьезное внимание на «сходство в мате­матической форме явлений двух различных областей природы, которое послужило, например, основой физической теории света». Он подчеркивал в другом случае, что сопоставляемые «теории примут совершенно различный вид, если мы включим в круг на­ших исследований другие соображения и дополнительные факты, но математическое сходство некоторых законов остается в силе' и с успехом может быть использовано в полезных математиче­ских приемах».³⁴

Таким образом, в системах, которые аналогичны друг другу, имеются: 1) взаимно однозначное соответствие элементов, вхо­дящих в одну систему, элементам, входящим в другую (см. рис. 1), при их качественной разнородности; 2) взаимно однозначное соответствие отношений между элементами одной системы отношениям между элементами другой системы, что на-

р

М 1954' ст' 108

^ДЛЯ

^П° ^Те°^{риж элект}Р°^магнитного поля,

ходит свое отчетливое выражение в тождественности математи­ческой формы. Но это не что иное, как условия изоморфизма. Следовательно, модели, основанные на электромеханических ана­логиях, представляют собой электрические модели, изоморфные механическим системам.

Основой изоморфизма является тождество математической формы законов разных областей природы. Это тождество мате­матической формы некоторых механических и электрических, механических и термодинамических, электрических и тепловых и т. д. законов не является случайностью и не представляет со­бой результата творческой деятельности интеллекта (к чему сво­дится идеалистическая точка зрения как в гегельянской, канти­анской, так и в позитивистских версиях), а есть выражение того объективного факта, что в природе существуют закономерности, выражающие общий характер некоторых форм движения. В этих законах находят свое выражение те особенности движения, ко­торые присущи ему независимо от конкретного вида и одинаково характеризуют химические, электрические, механические, тепло­вые и некоторые другие процессы.

Такие общие черты качественно различных форм движения им;еют закономерный характер и отражаются в математической форме, в частности в форме линейных уравнений второго по­рядка, как в упомянутых случаях, или в форме других уравне­ний математической физики.

«Лишь дифференциальное исчисление, — отмечает Энгельс, — дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение».³⁵ Математическая форма уравнений представляет отображение этих общих законов, их своеобразную знаковую модель, которая изоморфна всем кон­кретным видам движения в силу одинаковости этих объективно существующих законов движения, при условии соответствующей интерпретации законов.

Таким образом, объективной основой моделирования, т. е. проведения модельного эксперимента и отнесения результатов эксперимента на модели к соответствующим объектам иной физи­ческой природы, нежели модель, является наличие общих зако­нов движения определенного типа.

Теоретической основой моделирования в этой области является обобщение теории подобия до теории физических аналогий (ло­гически уточненной в понятиях изоморфизма и гомоморфизма), которая использует аппарат математической физики, подобно тому как теория подобия использовала уравнения классической меха­ники.

К. Маркой Ф. Энгельс, Соч., т. 20, стр. 587.

Отношение между моделью и объектом в кибернетических системах

Кибернетика, в которой метод моделирования, изучения и экспериментального исследования моделей является одним из основных методов, внесла в моделирование ряд новых, чрезвы­чайно перспективных моментов.

Прежде всего следует отметить, что в кибернетике метод моделирования приобретает еще более общий, чем в математиче­ском моделировании, характер.³⁶ Рамки его применения расши­ряются, он проникает в области, которые до этого многие фило­софы и естествоиспытатели, опасавшиеся возрождения механи-ццзма, считали запретными для моделирования, т. е. в области биологических и социологических систем и процессов. С другой стороны, обобщение метода моделирования в кибернетике про­дляется и в том, что она отвлекается не только от различной ирироды элементов, образующих кибернетические системы, но и _Of тех конкретных способов, какими эти элементы связаны друг с другом, следовательно, от специфики частных закономерностей _этих систем. Кибернетика отвлекается, например, от того, каким _конкретным способом осуществляется передача информации, ка­ковы особенности материальных средств, используемых для э^иго, каковы энергетические характеристики этих средств и т. д. Оца фиксирует свое внимание на общих законах функциониро­вания управляющих и самоорганизующихся систем независимо _о1 того, являются ли они техническими устройствами (маши­нами), созданными человеком, живыми организмами или челове­ческими обществами.

Такой функциональный подход к изучению управляющих си-grfeM вытекает из особенностей кибернетики как науки и уровня _ее абстракций. Разумеется, это не исключает необходимости других, более содержательных методов, учитывающих специфику _коцкретных объектов и законов, присущих конкретным формам движения материи, равно как не запрещает и в рамках киберне-f0M проникновение во внутреннюю сущность, т. е. во внутрен-_нюю структуру, изучаемых систем.

Кибернетические модели с гносеологической точки зрения рас-_падаются на две группы: материальные и идеальные, и в этом _отцошении они не отличаются от других моделей. Материальные кибернетические модели, которые здесь нас будут преимущест­ве?¹¹⁰ интересовать, относятся к подклассу моделей, воспроиз-_ВО1(ЯЩИХ изучаемый предмет в элементах иной физической при­роды, обладая, однако, специфическими особенностями кибер-_не1йческих систем.

³⁶ См.: И. В. Новик. О моделировании сложных систем. Изд. «Мысль», М., 1965.

Кибернетику интересуют закономерности поведения доста­точно сложных систем, способных поддерживать устойчивые, оптимальные взаимоотношения с окружающей средой. Сравни­тельно недавно установлено существование таких общих законов подобного поведения, или, иначе, законов управления, так же объективно присущих природе, как и законы механического дви­жения или какой-либо иной формы материального движения или же общие законы многих форм движения, форм изменения.

Однако ценность кибернетического моделирования состоит не только в реализации функционального подхода и в прогнозиро­вании поведения и функционирования моделируемого объекта на основании его изучения в модели. Подобные задачи, которые ставятся и решаются в кибернетике, и в частности в кибернети­ческом модельном эксперименте, имеют огромное теоретическое, практическое и народнохозяйственное значение. Но ограничение исключительно таким функциональным подходом было бы не­оправданным сужением познавательного значения кибернетики в целом и экспериментального изучения ее моделей. Другими словами, абсолютное исключение из поля зрения проблемы связи функций со структурами, обопечивающими данные функции, своеобразный отрыв функций от структур, чрезмерная абсолю­тизация функциональных особенностей моделей были бы источ­ником ошибочного одностороннего понимания познавательного значения кибернетики.

Г. Клаус совершенно правильно указывает на то, что при оценке кибернетического моделирования чрезвычайно важно пра­вильно, т. е. диалектически, решить проблему о единстве струк­туры и функции. «Следует прежде всего различать.. . модель определенного поведения какой-либо вещи и модель ее структуры. Структура и поведение (или функция) образуют диалектическое единство».³⁷

Модель может считаться удачной по меньшей мере лишь при двух условиях: а) если она демонстрирует поведение, подобное поведению оригинала, т. е. если она выполняет аналогичные функции, и б) если на основе изучения поведения и структуры этой модели можно обнаружить новые, неизвестные до сих пор особенности или свойства оригинала, не содержавшиеся в явном виде в исходном фактическом материале.³⁸

Возникает вопрос, возможно ли это? Или, другими словами, возможно ли, изучая кибернетическую модель, подвергая экспе­риментальному исследованию поведение такой модели, получить какие-нибудь данные или сделать какие-нибудь новые выводы о сущности (структуре) интересующего нас объекта из того факта, что структура модели, обеспечивающая ее поведение,

³⁷ Г. Клаус. Кибернетика и философия. ИЛ. М., 1963, стр. 265.

³⁸ См. там же, стр. 264.

нам известна. Можно ли из поведения модели извлечь сведе­ния о структуре объекта?

На этот счет существует два мнения. Согласно одному из них, аналогия на уровне функции равносильна аналогии на уровне структур, следовательно, изучение поведения модели с оп­ределенной структурой автоматически приводит к раскрытию структуры объекта, ибо никакой другой структуры, кроме струк­туры поведения вообще, не существует. С этой точки зрения, например, изучая поведение кибернетических моделей, можно полностью объяснить сущность высшей нервной деятельности и соответствующих процессов в головном мозгу. Это точка зрения бихевиоризма или близкая к нему.

Другое мнение полностью противоположно первому. Согласно ему, функциональная модель принципиально не сможет никогда ничего сказать о структуре объекта. Одним из аргументов в пользу этой точки зрения является соображение о том, что одна и та же функция может быть осуществлена бесконечным множеством способов и поэтому не существует однозначного со­ответствия между функцией и какой-нибудь структурой.

Оба мнения представляют собой метафизически односторон­ние крайности, не учитывающие единства структуры и функции, их органической связи друг с другом. Структура и функция являются диалектическими противоположностями, их нельзя ни отождествлять, ни отрывать друг от друга.

Первая точка зрения неверна потому, что она основывается на одностороннем отождествлении функции и структуры. Воз­можность построения модели какой-нибудь функции и успешная работа такой модели на практике, в эксперименте еще не яв­ляются доказательством того, что объект обладает точно такой же структурой, как у модели, и, наоборот, построение хо­рошей модели структуры объекта тоже не дает полной уверен­ности в том, что такая модель будет выполнять все функции оригинала, в силу того, что модель является более простой си­стемой. Однако если принять во внимание характер упрощения, при котором сохраняется изоморфизм основных отношений, то следует ожидать, что хорошо смоделированная структура будет выполнять соответствующие функции. Отсюда следует, что без­оговорочное отождествление во всех отношениях кибернетической машины, моделирующей мозг, с самим мозгом на основании сходства функций было бы ошибочным.³⁹

Вторая точка зрения основана на полном отрыве функций от структур и в философском отношении является идеалистической. Этот взгляд довольно последовательно проведен в книге, П. Косса, который стремится показать, что кибернетическая машина, т. е. модель, никогда не сможет «выйти из рамок предопределе-

Ср. там же, стр. 265 и ел.

ния», не сможет обучаться, не сможет осуществлять критическую функцию, не сможет переходить от конкретного к абстрактному и не сможет изобретать.⁴⁰ Эти запреты, которыми Косса ограни­чивает программу кибернетики, являются результатом его убе­ждения в «примате разума»,⁴¹ и оно, естественно, приводит в гно­сеологическом плане к отделению психических функций от материальной системы с определенной структурой, а в обще­философском — к отрыву вообще функций от структур. Примени­тельно к проблеме модельного эксперимента в кибернетике этот взгляд означает принципиальный отказ от всякой познаватель­ной роли подобных экспериментов.

Вопрос о значении модельного эксперимента в кибернетике и, следовательно, вопрос об отношении кибернетической модели к изучаемому объекту связаны с правильным решением проб­лемы о соотношении структуры и функции. Не пытаясь в на­стоящей работе осветить эту проблему в полном объеме, хотя бы даже в рамках кибернетики, мы выделим для нашей специальной цели лишь один ее аспект.

Экспериментальное изучение поведения кибернетических мо­делей разной степени сложности имеет ценность не только с точки зрения выяснения связи функций со структурой модели, но и с точки зрения проникновения в структуру моделируемого

Разумеется, большой научный и практический интерес пред­ставляет проблема, какими средствами и каким конкретным спо­собом реализовать выполнение машиной (моделью) тех или иных функций, заменяющих, скажем, соответствующие умственные функции человека (например, решение задач, поиск оптимальных условий, управление сложными системами и т. п.). На этом пути возникает целый ряд технических или специфических научных проблем, связанных с небходимостыо улучшить конструктивные особенности модели — ее гибкость, надежность, экономичность и другие показатели кибернетической техники. При решении этой проблемы нет необходимости стремиться к воспроизведению в мо­дели всех конструктивных деталей оригинала. Более того, жела­тельно создать такую структуру, которая была бы лишена не­достатков, присущих ее природному прототипу, и выполняла бы соответствующие функции лучше, быстрее, точнее, чем оригинал. Например, цифровые электронные вычислительные машины при достаточной гибкости выполняют вычислительные операции с быстротой и точностью, намного превосходящей соответствую­щие возможности человека.