Экспоненциальная и логистическая модели роста.

Модель экспоненциального роста была предложена Мальтусом для описания динамики численности людей на Земле и представляется дифференциальным уравнением:

которое имеет аналитическое решение x = x₀exp(kt). Решение показывает, что население Земли должно экспоненциально возрастать, что в свое время вызвало большие споры о грядущем перенаселении.

Модель Мальтуса применима ко многим явлениям, претерпевающим начальную стадию своего развития. Когда население становится слишком большим, мальтусовская модель с постоянным коэффициентом роста k перестает быть справедливой, т.е в общем случае динамика изменения x описывается уравнением:

,где k(x) – убывающая функция x.

В простейшем случае можно считать, что коэффициент размножения k убывает линейно с ростом народонаселения: k(x) = a - bx.

Вблизи точки x₀, когда население мало, и ax >> bx², эта кривая близка к кривой показательного роста. Но при значениях x порядка x_нас/2 наблюдается резкое отличие от экспоненциального роста: вместо ухода на бесконечность население приближается к стационарному значению x_нас. Заметим, что в настоящее время население Земли приближается к 6 млрд., а стационарное значение (по разным оценкам) составляет 16-20 млрд. человек.

Логистическая модель удовлетворительно описывает многочисленные явления насыщения, например, она является типовой в экологии. Можно себе представить, что x – это количество рыб в озере или в мировом океане. Оценим, как скажется на судьбе этих рыб рыболовство с интенсивностью (квотой вылова) c. Временная динамика популяции рыб описывается логистическим уравнением с внешним воздействием:

Интегрирование этого уравнения дает, что ответ чувствительно зависит от размера квоты. При c  a²/(4b) система имеет два равновесных состояния. Равновесное состояние A с большим значением x устойчиво: популяция в этом случае несколько меньше, чем в отсутствие лова, но она восстанавливается при малых отклонениях от состояния равновесия как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения популяции.

Равновесное состояние B с меньшим значением x неустойчиво: если вследствие каких-либо причин (например, браконьерства) размер популяции упадет ниже равновесного уровня B, то в дальнейшем популяция погибнет.

При квотах вылова с, больших критического уровня a²/(4b), популяция погибает всегда, независимо от ее начального размера. Это судьба мамонтов, североамериканских бизонов, многих китов. Модели такого рода описывают также банкротство фирм, концернов и государств.

Из сказанного ясно, что выбор значения параметра c является чрезвычайно важным моментом управления эксплуатацией популяции x. Стремясь к увеличению квоты, разумная планирующая организация не должна превосходить критический уровень.

Если попытаться оптимизировать размер квоты, при котором эксплуатируемая популяция еще не уничтожается, но доход от эксплуатации максимален, то оптимизация приводит к выбору именно критического значения с = a²/(4b).

Как показывает анализ решения логистического уравнения, оптимальная стационарная популяция, однако, является неустойчивой. Действительно, при стремлении квоты вылова к критическому уровню стационарные состояния A и B приближаются друг к другу, и в оптимуме сливаются: x(A) = x(B) = a/(2b). Поскольку, как мы видели, состояние B неустойчиво, то небольшое случайное уменьшение x приведет к полному уничтожению популяции за конечное время.

Таким образом, оптимизация параметров плана может приводить (и приводит во многих случаях) к полному уничтожению планируемой системы вследствие возникающей из-за оптимизации неустойчивости.

Рассмотренная простая модель позволяет также указать способы борьбы с неустойчивостью. Оказывается, устойчивость восстанавливается, если заменить жесткое планирование квот гибкой обратной связью. Иными словами, решение о величине эксплуатации (квот вылова, налогового пресса и др.) принимается не директивно (c = const), а в зависимости от достигнутого состояния системы. Например, можно взять c = kx (величина квоты пропорциональна размеру популяции). Подставляя это значение c в логистическое уравнение с внешним воздействием, получим классическое логистическое уравнение:

которое всегда имеет устойчивое стационарное решение. Влияние квоты вылова привело к уменьшению коэффициента a логистического уравнения (а  a – k). Оптимизация решения этого уравнения дает, что стационарная квота с = kx_нас = k(a-k)/b = достигает максимума c_опт = a²/(4b) при k = a/2 (максимальный доход), но в отличие от жестко планируемой системы, система с обратной связью устойчива (при небольшом случайном изменении x стационарный уровень восстанавливается силами самой системы). Более того, небольшое изменение значения k приводит не к самоуничтожению системы, а лишь к незначительному уменьшению «дохода».

Итак, введение обратной связи стабилизирует систему, которая без обратной связи разрушилась бы при оптимизации параметров. Фактически здесь речь уже идет не столько о прогнозировании, сколько об оптимальном управлении (организации и планировании) в динамической системе.