ВВЕДЕНИЕ

Актуальность данной темы в значительной степени обусловлена многочисленными приложениями теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.

Ряд процессов в механике, электротехнике и в других областях характеризуются тем, что правые части дифференциальных уравнений, которые описывают их динамику, претерпевают разрывы в зависимости от текущего состояния процесса. Стандартный пример такой динамической системы – механическая система с сухим трением, когда сила сопротивления может принимать одно из двух противоположных по знаку значений в зависимости от направления движения.

Таким образом математические модели механических систем с кулоновым трением, полученные в рамках механики систем абсолютно твердых тел, представляют собой дифференциальные уравнения, правые части которых являются функциями, разрывными относительно обобщенных скоростей (сила трения изменяется скачкообразно при изменении направления движения).

Ситуация, подобная вышеописанной, особенно часто возникает в системах автоматического управления: стремление повысить быстродействие системы, минимизировать энергетические затраты на управление, ограничить область возможных изменений регулируемых параметров и т.п. приводит к управляющим воздействиям в виде разрывных функций. В частности, такими системами автоматического управления являются системы с переменной структурой и со скользящими режимами.

Исследование этих систем в большинстве случаев осуществляется на основе метода фазового пространства. Согласно этому методу, состояние динамической системы n–го порядка в любой момент времени полностью определяется значениями координат. Значения этих координат задают некоторую точку в n–мерном пространстве, по осям которого отложены координаты системы.

Это означает, что каждому новому состоянию системы соответствуют все новые и новые точки пространства и изменению состояний системы можно соподчинить движение некоторой точки, которая называется изображающей точкой, а пространство – фазовым пространством. При движении системы ее координаты изменяются. И изображающая точка описывает некоторую кривую, которая называется фазовой траекторией. По виду этих траекторий можно судить о свойствах рассматриваемой динамической системы, и, более того, изменять их, деформируя фазовые траектории при соответствующем выборе управляющих воздействий.

Таким образом, задачи, которые были поставлены для выполнения квалификационной работы были следующие:

а) рассмотрение основных положений теории систем с переменной структурой;

б) анализ и выбор инструментальных средств для моделирования систем с переменной структурой;

в) построение моделей систем с переменной структурой разных порядков;

г) анализ полученных результатов.