Интерполяция сплайнами

Под интерполяцией обычно подразумевают вычисление значений функции f(x) в промежутках между узловыми точками (линия функции получаемого интерполянта обязательно проходит через узловые точки).

Простейшим способом интерполяции является аппроксимация данных сплайном нулевого порядка (на каждом участке степень полинома равна нулю), при котором значение функции в каждой промежуточной точке принимается равным ближайшему табличному значению. В результате данные приближаются ступенчатой функцией (интерполяция по соседним точкам). Линейная интерполяция основана на соединении соседних точек отрезками прямых (сплайн первого порядка). Для получения более гладкой функции применяют интерполяцию кубическими сплайнами.

Все эти способы реализованы в функциях: interp1 (одномерная), interp2 (двумерная), interp3 (трехмерная), interpn (многомерная).

yi = interp1(x,Y,xi)

yi = interp1(x,Y,xi,method)

yi = interp1(x,Y,xi) – строит кусочно-линейную интерполирующую кривую для одномерного массива Y, заданного на сетке х; выходной массив yi может быть определен на более мелкой сетке xi. Если Y – двумерный массив, то интерполирующая кривая строится для каждого столбца, тогда результирующий массив Yi будет иметь размер length(xi)×size(Y,2). Для значения xi вне области задания x присваивается значение NaN.

yi = interp1(x,Y,xi,method) – позволяет задать метод интерполяции.

В качестве метода может быть использованы:

'nearest' – ступенчатая интерполяция (по соседним элементам);

'linear' – линейная интерполяция (принимается по умолчанию, если способ не задан);

'spline' – кубические сплайны;

'pchip' – интерполяция кубическими эрмитовыми сплайнами (вторая производная сплайна (в отличии от spline) может быть разрывна, т.е. сплайн имеет дефект два) .

Рассмотрим применение приближения данных с использованием функции interp1(x,Y,xi,method) на примере тех же данных.

» x=[0.1:0.2:1.5];

» y=[5.332 4.488 2.432 1.803 2.223 2.467 4.127 5.091];

» xi=[0.1:0.01:1.5];

» % вычисление ступенчатой функции в промежуточных точках

» ynear = interp1(x,y,xi,'nearest');

» % вычисление кусочно-линейной функции в промежуточных точках

» yline = interp1(x,y,xi,'linear'); % можно не указывать 'linear'

» % вычисление кубического сплайна в промежуточных точках

» yspline = interp1(x,y,xi,'spline');

» hold on;

» % построение графиков интерполянтов

» plot(x, y, 'ko',xi, ynear, 'k', xi, yline, 'k:', xi, yspline, 'k-.');

» legend('табличная функция', 'по соседним элементам (nearest)', ...

'линейная (linear)', 'кубические сплайны (spline)',4);

» title('Различные способы интерполяции функций');