Вопросы по теме

6. Какое соотношение схемы МОБ используется для прогнозирования изменения индексов цен.

7. Раскройте экономическое содержание коэффициентов прямой и полной трудоемкости.

8. Раскройте экономическое содержание коэффициентов прямой и полной фондоемкости.

9. Дайте описание экономико-математической модели межотраслевого баланса затрат труда и раскройте экономический смысл входящих в нее величин.

10. Раскройте экономическое содержание элементов первого и второго квадрантов динамической модели МОБ.

11. Раскройте экономическое назначение и содержание квадрантов межотраслевого баланса денежного оборота.

12. В чем различие в подходах к построению схемы МОБ в системе народного хозяйства (традиционный подход) и в системе международных счетов.

4.3 Система моделей оптимального развития и размещения производств.

Важнейшее значения для развития любого производства имеет его рациональное размещение. При этом важно теоретически и методологически правильно обосновать варианты развития и размещения промышленного производства, т. к. неправильный выбор месторасположения, специализации, номенклатуры и объема продаж ведет к огромным потерям. В этой связи разработка теоретических и практических аспектов оптимального размещения становится одной из важнейших задач экономической науки и практики. Наибольшее развитие эти задачи получили в 70 - 80 годы в условиях отраслевой системы управления. Обоснование размещения промышленных предприятий с помощью оптимизационных моделей дало экономический эффект на 15 % больше, чем другими традиционными методами.

Методы решения задач оптимизации размера и размещения производств применяются во многих странах мира при планировании деятельности крупных концернов, корпораций, фирм, а так же при государственном программировании и планировании развития экономики.

Целью решения этих задач являются: выбор наиболее экономичного варианта строительства, реконструкции и расширения промышленного предприятия; выбор их территориального размещения; расчет оптимальных размеров, выбор оптимальной специализации производства; установление кооперативных связей.

4.3.1 Основные положения оптимизации размещения крупных производств в регионах.

Оптимальным вариантом развития и размещения производств (РРП) является такой вариант строительства новых, реконструкции и расширения существующих хозяйственных объектов который бы обеспечил удовлетворение спроса на продукцию и эффективное развитие производства.

В качестве критерия оптимальности в большинстве задач выступают минимум затрат на заданный объем конечного продукта, или максимум прибыли, или максимум производства высокоэффективной продукции отрасли.

Варианты РРП, оптимальные с точки зрения выбранного критерия, должны включать описание следующих условий:

- спрос на продукцию и другие условия реализации;

- возможность использования дефицитных ресурсов (ограничения по ресурсам);

- устоявшиеся взаимосвязи между отдельными хозяйствующими объектами;

- транспортные условия по доставке сырья, материалов, готовой продукции и т.д.

- социальные, экологические и другие внешние условия.

Экономико-математические модели данных задач формируются для определенного отрезка времени, поэтому здесь уместна динамическая постановка задачи. Поскольку в реализации динамических задач имеется ряд трудностей методического и информационного характера, чаще рассматривается упрощенная статическая модель. Экономические показатели, используемые при расчетах, учитывают изменение во времени оценок ресурсов и продукции, для этого используются коэффициенты дисконтирования.

Классификация РРП задач может производится по нескольким признакам:

1. В зависимости от способа задания варианта развития и размещения:

- в безвариантной постановке,

- в вариантной постановке.

2. В зависимости от характера переменной

- с непрерывными переменными,

- с дискретными переменными.

3. По степени влияния транспортного фактора:

- транспортно – производственные задачи,

- производственные задачи.

4. По числу позиций номенклатуры выпускаемой продукции:

- однопродуктовые,

- многопродуктовые.

5. По степени возможной локализации системы:

- одноэтапные (поставщик – потребитель),

- многоэтапные (поставщик – изготовитель (переработчик) – потребитель).

Простейшие модели РРП относятся к отраслям, производящим один вид продукции в количестве, достаточном для удовлетворения спроса потребителей. Задача может быть сведена к обычной транспортной задаче, т.е. к закреплению потребителей за поставщиками, которое обеспечивает минимум транспортных затрат. Модель простой транспортной задачи, рассмотренная в разделе 2.3, являлась закрытой, однопродуктовой, транспортно-производственной (одноэтапной), безвариантной.

Однако задача отраслевого размещения усложняется в условиях, когда мощности поставщиков не удовлетворяют спрос потребителей. Это требует ввода новых мощностей путем строительства новых промышленных предприятий, путем расширения, реконструкции действующих.

Введем следующие обозначения:

– индекс пункта производства (строительства, реконструкции) ;

– индекс пункта потребления ;

a_i – верхний предел мощности в i–м пункте производства (строительства, реконструкции);

b_j – спрос j -го потребителя на продукцию отрасли;

– затраты на производство единицы продукции в i-м пункте нового строительства (расширения, реконструкции действующего предприятия);

t_ij – транспортные расходы по перевозке продукции от i-го пункта строительства к j-тому пункту потребления,

x_ij – объем поставок продукции от i-го пункта производства к j-му пункту потребления,

x_i –размер производства в i-ом пункте.

Требуется определить значения величин x_ij и x_i , минимизирующих суммарный объем затрат на производство и доставку продукции

(4.47)

при выполнении следующих ограничений:

· суммарный ввоз продукции в каждый из пунктов потребления должен быть равен его потребностям

(j=1,n), (4.48)

· Суммарный вывоз продукции из каждого пункта производства должен быть равен размеру производства, а последний не может быть больше предельного значения

, (4.49)

· объемы перевозок по всем направлениям и размеры производства в каждом из пунктов производства должны быть неотрицательны

(4.50)

Результат решения задачи по алгоритму транспортной задачи дает оптимальную схему транспортных связей и оптимальный вариант размещения производства. Причем решение дает ограничение типа (4.49) , из которого следует: в пунктах, которые в оптимальном распределении окажутся связанными с реальными потребителями, целесообразно развивать производство в размере: .

С учетом условия (4.49) критерий оптимальности (4.47) можно переписать:

(4.51)

или после преобразований

(4.52)

В этой модели принято, что величина производственных затрат пропорциональна объемам производства. Однако экономическая теория и практика свидетельствуют, что величина производственных затрат существенно зависит от объемов производства продукции, т.е. являются функцией от них. Концентрация производства приводит к снижению удельных производственных затрат вследствие экономии, например, на накладных расходах, вследствие чего общую величину производственных затрат надо определять как произведение переменного норматива, представляющего собой функцию от размеров производства, на объем производства (нелинейная зависимость). Поэтому решение модели данной задачи можно использовать только для предварительных (эскизных) расчетов на начальных этапах исследования.

4.3.2 Виды моделей однопродуктовой одноэтапной задачи размещения и развития производства.

Для получения более точных результатов решения задач РРП следует учесть следующие факторы:

· нелинейная зависимость затрат от объёмов производства продукции. В результате целевая функция должна учитывать эту нелинейность в производственных затратах и линейность в транспортных затратах;

· характер переменной модели. Переменная может быть непрерывной, т.е. объем производства может изменяться от нижнего до верхнего предела, а может быть и дискретной, т.е. принимать определённые значения.

С учётом этих факторов можно выделить два типа моделей задачи РРП:

­ модель нелинейной задачи с непрерывными переменными (безвариантная постановка);

­ модель нелинейной задачи с дискретными переменными (вариантная постановка).

Вид модели безвариантной постановки:

(4.53)

(4.54)

где:

j_i(x_i)- функция удельных производственных затрат, показывающая зависимость их уровня от объема производства в пункте i.

d_i- нижний предел мощности производства;

t_ij- транспортные затраты на единицу продукции от i-го пункта производства до j-го потребителя.

Основной путь решения таких задач состоит в минимизации соответствующих нелинейных зависимостей и последующем решении целого ряда линейных задач, а так же выбора из полученных результатов наилучшего варианта, отвечающего требованиям критерия оптимальности. Этот метод носит название аппроксимации кусочно-линейными функциями, в этом случае нелинейную зависимость представляют в виде линейной для более узкого интервала между нижним и верхним пределами интервала.

Рисунок 4.2 Представление нелинейной зависимости суммарных затрат от объемов производства.

Выпуклая кривая на графике по определённому интервалу делится на отрезки, крайние точки которых соединяются прямыми. Для каждого из интервалов решаются задачи линейного программирования и находятся значения целевой функции. Из всех вариантов выбирается минимальное значение, ему и будет соответствовать оптимальный план развития производства. Решение тем точнее, чем на большее количество интервалов разделена эта зависимость.

Исходя из специфики химических, металлургических производств мощность предприятия может формироваться за счет крупных неделимых агрегатов и изменяться дискретно. В таких случаях искомые переменные ­ перспективные производственные мощности предприятий могут принимать не любые значения на всем интервале изменения мощности, а лишь некоторые, строго определенные значения, кратные величинам мощностей имеющихся на предприятии агрегатов, технологических линий, т.е. в этом случае получается задача развития и размещения с дискретными (целочисленными) переменными.

Для представления модели задачи РРП с дискретными переменными и нелинейной зависимостью удельных производственных затрат от мощности дополнительно введем следующие обозначения:

­ индекс типового проекта; число используемых типовых проектов для разных пунктов производства неодинаково, поэтому = 1,2,…., ;

­ мощность предприятия в i-м пункте производства по -му типовому проекту.

В модели (4.53 ÷ 4.54 ) изменится только вид ограничения по возможной мощности в пункте строительства:

(4.55)

Условия (4.55) отражают тот факт, что размер мощности предприятия в i-м пункте может быть равен одному из возможных вариантов типовых проектов (или нулю).

4.3.3 Решение одноэтапной целочисленной задачи методом коэффициента интенсивности.

Введение в модель задачи РРП нелинейности и дискретности (целочисленности) значительно затрудняет решение. Универсальных методов решения таких задач не существует, но часто используется приближенный метод «коэффициентов интенсивности».

Метод «коэффициентов интенсивности» основан на замене однократного решения нелинейной задачи развития и размещения производства с дискретными переменными многократным решением последовательности обычных линейных транспортных задач с дискретными переменными. Переход от одной транспортной задачи к другой осуществляется взаимосвязанным изменением мощности и соответствующих ей удельных производственных затрат для какого-либо одного пункта производства.

Таким образом, решение задачи состоит из последовательности этапов. На первом этапе решается открытая транспортная задача с неизвестными .

Ограничение (4.55) на этом этапе выглядит так:

(4.56)

где ­ максимально возможная мощность в i-м пункте строительства.

*После распределения поставок по потребителям производится проверка целочисленности решения. Для этого для каждого i-го пункта строительства рассчитывается коэффициент интенсивности.

Коэффициент интенсивности ( ) представляет дробь, в числителе которой сумма поставок реальным потребителям, а в знаменателе производственная мощность поставщика на данном этапе:

(4.57)

По результатам расчета коэффициент интенсивности может принимать следующие значения:

если ­ соответствующий вариант мощности отвергается полностью;

если ­ данный вариант мощности поставщика может быть включен в оптимальный план развития и размещения;

если ­ смешанная строка, мощность поставщика используется не полностью, только часть продукции, произведенной в i-м пункте по k- му проекту, распределяется между реальными потребителями, часть продукции закрепляется за фиктивным потребителем.

Задача будет решена, если для всех строк будут равны 1 или 0.

При наличии смешанной строки, что свидетельствует о нецелочисленном решении, осуществляется переход к следующему этапу. Для этого из всех смешанных строк выбирается та, которой соответствует минимальное значение . Поставщика с минимальным называют переходным, и при переходе к следующему этапу только у этого производителя меняется мощность на ближайшее меньшее значение, что ведет к увеличению удельных затрат, а значит к уменьшению конкурентоспособности этого производителя. Решается новая транспортная задача, после чего процесс повторяется, начиная с позиции, помеченной звездочкой*.

Расчеты повторяют до получения целочисленного решения, т.е. на каком-то s-ом этапе моделирования ограничение (4.56) принимает вид

где (4.58)

(4.59)

что означает: каждый из вариантов строительства либо используется в полном объеме, либо не используется совсем.

Пример 4.4. Пусть новые предприятия по производству одинакового продукта могут быть построены в четырех пунктах А,Б,С,Д. а их продукция может поставляться в четыре пункта потребления (I, II, III и IV). Варианты мощностей предприятий и соответствующие им удельные производственные затраты представлении в табл. 4.8, а потребности и удельные транспортные затраты ­ в табл. 4.9:

Таблица 4.8

Таблица 4.9

Мощности в каждом пункте производства могут принимать лишь отдельные дискретные значения, поэтому зависимость удельных производственных затрат от размеров мощности задана не в виде функции, а в табличном виде.

Требуется определить оптимальную мощность промышленных предприятий в пунктах строительства и рациональную схему прикрепления поставщиков к потребителям, которые обеспечивает минимум затрат.

На первом этапе данного метода в каждом пункте производства принимаются максимальные проектные мощности . Соответствующие им удельные производственные затраты построчно суммируются с транспортными. Получается схема обычной транспортной задачи (см. Табл. 4.10):

Таблица 4.10

Мощность постав-щика	Потребители и их спрос	Фиктивный потребитель
I - 600	II- 400	III - 400	1V – 200
А - 400					-
B - 600					400	0,33
C - 600					_
D - 600					200	0,67

Решаем открытую транспортную задачу: закрепляем потребителей за поставщиками по «методу наименьших стоимостей». Для этого выбираем клетку с наименьшими затратами и заполняем ее объемом поставок - в соответствии со спросом потребителей и мощностью поставщика. Далее переходим к следующей незаполненной клетке с наименьшими затратами и заполняем таким образом всю таблицу. При этом ставится задача полного обеспечения спроса каждого из потребителей. Мощности поставщиков могут быть задействованы не полностью; неиспользуемые реальными поставками мощности проставляем в колонке «фиктивный потребитель».

Далее переходим к проверке условия целочисленности. Для этого по каждому i-му пункту строительства рассчитывается коэффициент интенсивности как отношение суммы реальных поставок к мощности, взятой на данном этапе.

Из таблицы 4.10 видно, что минимальный коэффициент интенсивности 0,33 соответствует поставщику В. Переходим к новому этапу решения задачи, изменив для строительства в пункте В мощность с 600 на 500 тонн (по данным табл. 4.8) и, соответственно, суммарные удельные затраты от этого поставщика.

Таблица 4.11

Пункты строительства	потребители
I-600	II-400	III-400	IV–200	Фиктивный потребитель
А - 400	--
				--
В - 500	--	--
С - 600		--
				--
D - 600	--
				--

После решения второго этапа (см. таблицу 4.11) все коэффициенты интенсивности равны 0 или 1, это значит, что решение окончательное, найдено оптимальное решение: план размещения и развития включает строительство предприятий в трех пунктах: пункт А (предприятие мощностью 400 т), пункт С (предприятие мощностью 600 т), пункт Д (предприятие мощностью 600 т).

Доставка продукции будет производиться по следующим направлениям:

· из пункта А ­ второму потребителю в объеме400 т (X₁₂=400);

· из пункта С ­ первому потребителю в объеме 600 т (X ₃₁=600);

· из пункта Д ­ третьему потребителю в объеме 400 т (X₄₃ =400);

­ четвертому потребителю в объеме 200 т (X₄₄=200).

Общая стоимость затрат на производство и доставку продукции составит 292 млн. руб.

.

4.3.4 Модель многоэтапной задачи развития и размещения производства.

В многоэтапных моделях развития и размещения производства учитываются более сложные связи пунктов нового строительства или реконструкции, которые одновременно выступают как в роли поставщика готовой продукции, так и в роли потребителя сырья и материалов.

Необходимость в применении многоэтапной модели возникает и при отсутствии прямых связей по поставкам продукции, наличии перевалки, длительного хранения и т.п.

Рассмотрим модели и методы решения трёхэтапной задачи, включающей: пункты добычи сырья, пункты переработки (производство продукции), пункты потребителей готовой продукции.

При фиксированных объёмах производства и размещения предприятий первого этапа, а также фиксированном спросе конечного потребителя, рассматриваются варианты размещения предприятий второго этапа, т.е. пунктов переработки, мощности которых и требуется определить. При этом связи между предприятиями всех этапов надо рассматривать в комплексе.

Введем обозначения:

i - индекс пункта переработки

j - индекс потребителя

r - индекс пункта поставки сырья (поставляющих или добывающих районов)

Q_r- фиксированный объём сырья в r-м районе добычи;

a_i- верхний предел мощности в i-м пункте переработки;

b_j- спрос j-го потребителя на готовую продукцию;

с_ri- затраты на добычу и транспортировку единицы сырья от r-го пункта добычи к i-му пункту переработки;

сij - затраты на производство и транспортировку единицы готовой продукции от i-го пункта переработки к j-му потребителю;

λ - норма расхода сырья на единицу готовой продукции.

Необходимо определить:

x_i- мощность предприятия в i-м пункте переработки;

x_ri- объём поставок сырья от r-го пункта добычи к i-му пункту переработки;

x_ij- объём поставок готовой продукции от i-го пункта переработки к j-му потребителю.

При этом совокупные затраты по перевозке как сырья, так и готовой продукции должны быть минимальны на всех этапах.

Модель многоэтапной задачи РРП будет выглядеть следующим образом.

Критерий оптимальности ­ минимум суммарных производственно-транспортных затрат на всех этапах: от пунктов добычи сырья до пунктов потребления

. (4.60)

Ограничения:

¾ по вывозу продукции из пунктов добычи сырья

(4.61)

¾ по обеспеченности сырьем пунктов производства продукции

(4.62)

¾ по удовлетворению спроса каждого потребителя:

(4.63)

¾ по полному использованию продукции из каждого пункта производства:

(4.64)

запрет на обратные перевозки:

(4.65)

условие неотрицательности:

(4.66)

Один из методов решения многоэтапных задач будет рассмотрен ниже.

4.3.5. Решение однопродуктовой многоэтапной модели задачи методом фиктивной диагонали.

Для решения такого рода задач используются специальные способы построения матриц. Матрица 3-х этапной задачи выглядит следующим образом (см. таблицу 4.12).

Матрица состоит из четырех блоков.

В I блоке (левый верхний блок) отражаются связи между предприятиями 1 и 2 этапа, т.е. пунктами поставок сырья и предприятиями − производителями готовой продукции. В клетках блока указываются реальные показатели удельных транспортных затрат.

Во II блоке (правый верхний блок) описываются связи поставщиков сырья и потребителей готовой продукции, если такие связи имеются. Если такие связи запрещены, все показатели транспортных затрат обозначены «х» (запретительный тариф).

III блок (левый нижний блок) отображает связи пунктов производства продукции с пунктами производства продукции. Поскольку по условию задачи перевозки готовой продукции от производителей к производителям не допускаются, во всех клетках этого блока (за исключением главной диагонали) проставлен запретительный тариф (х).

Матрица трехэтапной модели задачи РРП Таблица 4.12

Каждая клетка главной диагонали описывает связь каждого предприятия, производящего продукцию, с самим собой. В этих клетках производственно-транспортные затраты принимаются равными нулю. Если в результате решения задачи клетка главной диагонали оказывается заполненной, то число в ней будет показывать недоиспользованную мощность предприятия. Главная диагональ нижнего левого блока называется фиктивной диагональю, поэтому и метод решения многоэтапной задачи размещения производства называется методом фиктивной диагонали.

В IV блоке (правом нижнем блоке) описываются связи пунктов производства продукции с пунктами потребления, в клетках этого блока указываются реальные производственно-транспорные затраты.

Решение задачи включает все 4 блока и производится с помощью любого алгоритма транспортной задачи. Процесс решения начинается с заполнения блочной матрицы так, как это было описано выше. Поскольку целью задачи является полное удовлетворение спроса конечных потребителей, решается транспортная задача по данным IV блока, находятся маршруты и объемы распределения поставок от предприятий к потребителям. Далее осуществляется переход к III блоку. По результатам распределения поставок между предприятиями и потребителями заполняются диагональные клетки третьего блока для тех предприятий, производственная мощность которых недоиспользуется, в соответствующих диагональных клетках проставляется недоиспользуемая мощность таких предприятий.

Далее осуществляется переход к I блоку. Мощность предприятий ­ производителей продукции корректируется по результатам работы с третьим блоком: величина мощности предприятия определяется как разность между исходящей и мощностью, отражённой по диагонали в III блоке. При определении оптимальных связей в I блоке каждое предприятие получает сырья столько, сколько это необходимо для функционирования с скорректированной мощностью. Нераспределённое сырьё прикрепляется к фиктивным предприятиям.

Проверка на оптимальность производится методом потенциалов (метод дается в курсе «Экономико-математические методы»).

Пример 4.5. Исходная информация представлена в таблицах 4.13 ÷ 4.14.

Таблица 4.13

Таблица 4.14

В правом нижнем углу каждой клетки таблиц проставлены удельные производственно-транспортные расходы (в тыс.руб/тонну). Норма расхода сырья λ=1. Определить оптимальную мощность перерабатывающих предприятий и найти рациональную схему распределения поставок между предприятиями на всех этапах так, чтобы совокупные затраты были минимальными.

Заполнение блочной матрицы и результаты распределения поставок сырья и готовой продукции, обоснованные размеры мощностей перерабатывающих предприятий показаны в табл. 4.15 .

Таблица 4.15

Данное распределение является оптимальным (можно проверить методом потенциалов). По результатам решения задачи можно сделать следующие выводы. Для удовлетворения спроса потребителей требуется построить два перерабатывающих предприятия: в пункте А1 мощностью 100 тонн, в пункте А2 мощностью 50 тонн. С целью полной загрузки перерабатывающих предприятий необходимы поставки сырья из пункта Q1 в объеме 100 тонн и из пункта Q4 в объеме 50 тонн (в поставках сырья из пунктов Q2, Q3 необходимости нет).

Суммарные производственно-транспортные расходы составят 410 тыс.руб: Z_min=(1∙100+1∙50)+(1∙50+2∙50+3∙10+2∙40)=410 тыс.руб.

4.3.6 Многопродуктовые задачи развития и размещения производства.

Более широкую сферу применения имеют задачи развития и размещения многономенклатурного производства, т.к. практически любое производство является многопродуктовым. В этих задачах определяются не только пункты нового строительства и расширения (реконструкции) действующих предприятий и размеры производства для них, но и объемы производства каждого продукта в рамках общей мощности предприятия, т.е. специализация.

Задача ставится следующим образом: определить пункты строительства, мощности и специализацию многономенклатурных производств при известной потребности каждого из потребителей в каждом виде продукции и известной зависимости затрат от объёма производства данной продукции, а так же транспортных затрат на перевозку единицы каждого вида продукции по каждому направлению.

Введем обозначения:

_i - пункта производства (строительства), ;

_j - индекс пункта потребления,

_k - индекс видов продукции, ;

─ максимально возможная мощность предприятия в пункте i;

─ размер потребности пункта j в продукции вида к;

─ затраты на производство единицы продукции вида k в пункте i в части, зависящей от специализации (и функционально зависящие объема выпуска k -го вида продукции);

─ удельные затраты на производство единицы продукции в пункте i в части, функционально зависящие от концентрации, т.е. от общей мощности предприятия в данном пункте);

─ транспортные затраты на перевозку единицы k -ой продукции от i-пункта к j-му потребителю;

─ объем производства k-ой продукции на i-ом предприятии;

─ общая мощность предприятия в i-ом пункте строительства;

─ объем поставок k-ой продукции от i-пункта к j-му потребителю.

Модель нелинейной безвариантной задачи размещения многономенклатурного производства при принятых обозначениях выглядит следующим образом.

Совокупные затраты на производство и перевозку всех видов продукции от всех пунктов строительства ко всем потребителям должны быть минимальными

(4.67)

при выполнении следующих ограничений:

Ø потребность каждого потребителя должна быть удовлетворена по каждому виду продукции

; (4.68)

Ø объем вывоза каждого вида продукции от каждого предприятия должен быть равен объему производства

; (4.69)

Ø суммарный выпуск всех видов продукции предприятия не должен превосходить максимально возможных размеров производства в данном пункте

; (4.70)

Ø неотрицательность переменных

. (4.71)

Раздельный учет в целевой функции (4.67) производственных затрат и вызван различным характером зависимости отдельных статей или категорий затрат от концентрации и специализации производства. Так, например, общезаводские расходы (в составе текущих затрат) и капитальные вложения в пассивную часть фондов (в составе единовременных затрат) зависят лишь от общей мощности предприятия (т.е. концентрации) и, как правило, мало зависят от структуры выпуска продукции по видам. И наоборот, затраты на сырье и на приобретение основного технологического оборудования служат примером той части текущих и единовременных затрат, которые непосредственно зависят от размеров выпуска того или иного вида продукции (т.е. от специализации).

В этом разделе рассмотрена безвариантная модель развития производства, т.к. мощность и специализация каждого предприятия не выбираются из заранее заданных вариантов (проектов), а формируются в процессе решения задачи.

Существуют другие модификации задач, учитывающих некоторые отраслевые особенности, например вариантная или сетевая модели. Одну из них, вариантную, рассмотрим в следующем разделе.

4.3.7 Модификации многопродуктовых задач развития и размещения производств.

Вариантные многопродуктовые модели задач РРП обладают большей гибкостью, позволяют отказаться от нелинейной зависимости затрат от объема производства. В таких задачах требуется выбрать из множества проектов строительства предприятий (с фиксированной специализацией, мощностью и производственными затратами) проекты, обеспечивающие полное удовлетворение потребителей по каждому виду продукции в целом по району с минимумом затрат на производство.

В дополнении к обозначениям, введенным в предыдущем разделе к безвариантной постановке, примем следующие:

пусть s ­индекс варианта строительства предприятия, так как число вариантов для различных пунктов производства различно, то ;

i ­индекс пункта производства , причем пункты, где уже действуют предприятия, но предлагаются варианты их реконструкции или развития, обозначим , пункты нового строительства обозначим .

­ общий объем производственных затрат при реализации варианта s в пункте i;

­ объем производства продукции вида к в пункте i при строительстве по варианту s;

­ общая потребность района в к-ой продукции.

Требуется найти переменную , означающую интенсивность использования s-го варианта развития производства в i-м пункте при совокупных минимальных затратах. Величина равна единице, если вариант (проект) принимается и включается в план развития и размещения производства, и равна нулю, если вариант отвергается.

C учетом введенных обозначений модель вариантной задачи примет следующий вид:

минимизировать общую сумму производственных затрат

(4.72)

при условиях:

Ø общий объем производства по каждому виду продукции должен быть не меньше потребности в ней:

(4.73)

Ø каждый вариант должен быть принят или отвергнут целиком (условие целочисленности):

(4.74)

Ø для действующих предприятий обязателен выбор одного из вариантов его развития (расширения):

(4.75)

Ø для каждой точки нового строительства может быть выбрано не более одного (один или ни одного) из возможных вариантов:

(4.76)

В вариантной постановке многопродуктовой задачи РРП каждый из предложенных вариантов характеризуется набором показателей , задающих объем выпуска по отдельным видам продукции и в целом, и показателя , отражающего общий объем текущих (на функционирование) и единовременных (на строительство) затрат по данному варианту. Значения этих показателей определяются в результате разработки технико-экономического проекта нового строительства (реконструкции) или типовым проектом.

Целочисленность вариантной модели помогает избавиться от нелинейности. При любой форме зависимости затрат от концентрации и специализации производства критерий оптимальности всегда будет линейным, т.к. для каждого из имеющихся проектов рассчитывается один показатель общего уровня затрат , который используется в целевой функции модели в качестве постоянного коэффициента при неизвестных . Это позволяет отказаться от выделения в производственных затратах частей, зависящих от концентрации и специализации производства.

Пример 4.6.Определить оптимальный план специализации трех предприятий, выпускающих 2 вида продукции, потребность в продукции составляет 14’000 тонн и 5’000 тонн соответственно. Дополнительно данные о мощности каждого варианта предприятия и суммарных затратах на строительство приведены в таблице 4.16:

Таблица 4.16

Требуется найти целочисленное решение, обеспечивающее выпуск каждого вида продукции в заданном объеме с минимальными производственными затратами. Причём в пункте I обязательно строительство предприятия, а в пунктах II и III не обязательно.

Ниже (4.77÷4.79) представлена математическая модель задачи:

(4.77)

(4.78)

(4.79)

Дальнейшее усложнение экономико-математических моделей задач РРП может заключаться в сочетании многономенклатурных производств с многоэтапностями перевозок, связанными с многообразием используемых ресурсов, пунктов доставки сырья от источников сырья к каждому пункту производства и от производств к многочисленным потребителям с разными запросами. Такие задачи решаются на основе комбинации рассмотренных выше моделей.