Твердая фаза в тарельчатой колонне.

Рассмотрим процесс адсорбции, осуществляемый в одной секции тарельчатой колонны. На рис. 38 представлена схема процесса происходящего на одной из тарелок адсорбционной колонны.

Схема процесса

Рис 38

Технология процесса реализуется следующим образом. Через тарелку с псевдосжиженным слоем сорбента снизу вверх непрерывно проходит газ, содержащий целевой компонент (ЦК). В результате массообмена ЦК переходит в твердую фазу. Пройдя ряд однотипных тарелок очищенный газ вверху выходит из колонны.

Сорбит поступает в псевдосжиженный слой сверху и покидает слой через отверстия в тарелке. Насыщенный ЦК сорбент выходит снизу из колонны.

При построении модели введем следующие обозначения:

- расход газа;

- концентрация целевого компонента (ЦК) в газе на выходе в слой;

- концентрация ЦК в газе, внутри сорбента;

- концентрация ЦК в газе на выходе с тарелки;

- расход сорбента поступающего на тарелку;

- расход сорбента выходящего с тарелки;

- масса слоя сорбента на тарелке;

- концентрация ЦК сорбенте;

- высота слоя сорбента.

Допущения и ограничения, принимаемые при построении модели, будут следующие.Перемешивание частиц твердой фазы в псевдосжиженном слое – идеальное. Режим течения газа в аппарате – поршневой. Скорость газа и концентрация ЦК в газе постоянны по сечению аппарата. Продольное перемешивание отсутствует. Процесс изотермический. Объект с распределенными параметрами.

Определяющим фактором рассматриваемой технологии является процесс массообмена между газовой и твердой фазами и процессы движения фаз. Поэтому, модель процесса будет представлять из себя систему уравнений, которые характеризуют как динамику движения фаз, так и процессы массообмена ЦК между газообразной и твердой фазами. В связи с этим необходимо получить уравнения материального баланса для твердой и газообразной фазы и уравнения массообмена ЦК между ними.

Уравнение материального баланса массы слоя твердой фазы на тарелке будем определять следующим образом (см. раздел 2)

(6-16)

зависит от массы слоя, конструкции тарелки, размера и формы частиц твердой фазы. Для получения этой зависимости поступим следующим образом.

Обозначим через вероятность того, что за промежуток времени , частица твердой фазы покинет слой. Из идеальности перемешивания следует, что эта вероятность одинакова для всех частиц слоя. Очевидно, что при ; Считая функцию дифференцированной, можно записать

= , (6-17)

где , - некоторая функция, обладающая следующим свойством ; при .

Величина зависит от массы слоя , скорости газа , площади свободного сечения тарелки , размера, формы и массы частиц, геометрии провальной тарелки. Для аппарата определенной конструкции и данного сорбента переменными являются только

(6-18)

При сравнительно невысоких слоях сорбита величина практически не зависит от , поэтому

(6-19)

и определяется конструкцией тарелки.

Определим . С этой целью будем исходить из следующего. Пусть в слое находится частиц. Обозначим - число частиц покинувших слой за время . Очевидно, что - величина случайная.

Можно показать, что если перемешивание твердой фазы идеальное, то распределение числа частиц, покинувших слой, является биноминальным, то есть вероятность , того что за время слой покинет ровно частиц, равна

, (6-20)

где - число сочетаний из элементов по n.

Среднее число частиц N( - покидающих слой за время , по определению равно

. (6-21)

Подставив в это равенство вместо его выражение (6-20), получим,

. (6-22)

При , все члены этого ряда, кроме первого, имеют второй порядок малости и, следовательно, в этом выражении можно учитывать только первое слагаемое

. (6-23)

С учетом полученного ранее значения (см. (6-17)), его можно записать в следующем виде:

.

Домножим это выражение на массу m частицы твердой фазы, разделим на и перейдя к пределу при , получим

. (6-24)

Учитывая, что , а выражение , уравнение (6-24) можно переписать следующим образом

. (6-25)

Таким образом, уравнение материального баланса для твердой фазы будет определяться уравнениями (6-16) и (6-25).

Уравнение материального баланса для газовой фазы получим рассуждая следующим образом. Уравнение газовой фазы материального баланса

, (6-26)

где М(t)- изменение массы газа в слое сорбента.

Однако, учитывая, что масса газа мала по сравнению с массой твердой фазы, а изменение массы тем более малая величина, то есть , уравнение материального баланса газовой фазы окончательно будет иметь следующий вид

. (6-27)

Для получения уравнения материального баланса ЦК в газовой фазе поступим следующим образом. Выделим элементарный объем и для него запишем уравнение материального баланса , которое в данном случае будет

, (6-28)

где S – площадь поперечного сечения;

- пористость;

q( ) – количество ЦК, поглощенного в единицу времени твердой фазой.

Левая часть уравнения характеризует изменение количества ЦК в газе в слое сорбента, а правая часть характеризует за счет чего эти изменения происходят.

Для определения будем рассуждать следующим образом.

В элементе слоя содержится масса частиц твердой фазы, равная .Одна частица сорбента массой m за единицу времени поглощает количество целевого компонента, равное (смотри раздел 6-1). Так как для разных частиц величина сорбции разная, необходимо усреднить это выражение.

С этой целью обозначим

, (6-29)

где E – знак математического ожидания.

Математическое ожидание величины на интервале (в рассматриваемом случае на интервале концентрации , где - максимальная возможная величина сорбции, равен:

, (6-30)

где - функция распределения величины ;

- плотность распределения.

Таким образом, зная функцию распределения, мы определим среднюю величину адсорбции.

Тогда, с учетом рассмотренного выше, можно записать следующее выражение для

. (6-31)

Подставив это выражение во вторую часть уравнения (6-28), сократим на и перейдя к пределу при , окончательно получим.

. (6-32)

Это уравнение материального баланса ЦК в газовой фазе. Его можно было бы и записать сразу, исходя из общего уравнения материального баланса. Однако, и тогда необходимо было уточнение величины .

Для определения ЦК в твердой фазе, поступим следующим образом. Обозначим через - среднюю величину адсорбции или концентрацию ЦК твердой фазы. Тогда общее количество поглощенного целевого компонента в слое твердой фазы будет равно , а скорость его изменения будет равна

. (6-33)

где - количество сорбированного за единицу времени целевого компонента.

Количество целевого компонента в элементе слоя определяется выражением, рассмотренным ранее, и будет равно

. (6-34)

Для всего слоя, можно записать

. (6-35)

Так как , (6-36)

где - это средняя величина концентрации по высоте слоя.

Тогда уравнение (6-33) перепишем в следующем виде.

. (6-37)

Взяв дифференциал в левой части последнего уравнения его можно записать следующим образом.

,

так как (см. (6-16)).

Подставив это выражение в предыдущее уравнение, и проведя элементарные преобразования, получим.

. (6-38)

Чтобы найти , надо знать закон распределения. Однако, если изотерма адсорбции линейна, то есть описывается выражением

, (6-39)

где - константа Генри, то

, (6-40)

и система уравнений является замкнутой, так как постоянный множитель , может быть вынесен за знак математического ожидания, и выражение для определения средней величины концентрации будет определяться выражением, рассмотренным выше.

Таким образом, для линейной изотермы можно вычислить математическое ожидание, не располагая информацией о функции распределения случайной величины.

В случае нелинейной изотермы адсорбции (которая встречается достаточно часто) необходимо знать вид функции распределения величины адсорбции частиц твердой фазы.

Без вывода, запишем уравнение материального баланса ЦК для твердой фазы в случае нелинейной изотермы адсорбции.

, (6-41)

где - функция плотности распределения величины адсорбции частиц твердой фазы.

- величина адсорбции частиц твердой фазы (случайная величина).

Тогда система уравнений с учетом последнего (без уравнения (3-38)) является математической моделью нестационарного процесса адсорбции в псевдосжиженном слое сорбита. Заметим, что уравнение (6-38) является формальным следствием последнего уравнения, когда концентрация равномерна по слою, а не случайна распределена по всему объему.

Таким образом, математическая модель рассматриваемого процесса будет иметь следующий вид.

; ;

;

;

; (6-42)

;

Получим некоторые характеристики процесса. Рассмотрим уравнение материального баланса для газовой фазы (см. (6-28)), которое перепишем в следующем виде.

, (6-43)

где - безразмерная величина, обозначенная той же буквой Х, поделим почленно на и введем обозначение , тогда получим

. (6-44)

Выражение =Т – равно времени, за которое газ проходит через слой сорбента. Это время обычно много меньше масштаба времени адсорбционных процессов. Поэтому левая часть уравнения пренебрежимо мала по сравнению с остальными членами уравнения.

В таком случае уравнение (6-44) перепишется в следующем виде.

. (6-45)

При граничных условиях , решение уравнения будет иметь вид.

. (6-46)

Это уравнение определяет профиль концентрации ЦК в слое, так как при Х=1; = . Среднюю по высоте слоя концентрацию можно получить, интегрируя профиль.

. (6-47)

Таким образом, полученная модель позволяет определить не только динамику процесса в целом, но и получить его различные характеристики. Это является необходимым условием при проектировании и создании систем автоматизации.