Рассмотрим получение математической модели при исследовании технологических объектов с распределенными параметрами, например для участка трубопровода, по которому протекает жидкость. При построении модели объектов с распределенными параметрами, на основании методики рассмотренной ранее, выделяется бесконечно малый объем и для него выписываются уравнения материального баланса.
На рисунке приведен участок трубопровода, по которому движется жидкость. Будем рассматривать одномерный поток. Все обозначения приведены на рисунке 9.
Участок трубопровода
Рис 9.
G - масса (количество) вещества,
W- скорость, ρ - плотность, S-площадь сечения
Будем рассматривать общий случай. В общем случае , , и . Принимаем стационарность и изотермичность процесса.
Применим закон сохранения массы к элементарному объему , выделенному на участке трубопровода.
Изменение массы вещества в некотором элементарном объеме будет определяться притоком вещества в элементарный объем и оттоком из него. В этом случае применение закона сохранения массы для выделенного элементарного объема можно записать в следующем виде
. (2-36)
Рассмотрим момент времени dt и для него запишем массу (количество) вещества, втекающего и вытекающего из этого объема.
(2-37)
- масса (количество) вещества, втекающего в объем за время dt.
(2-38)
- масса (количество) вещества, вытекающего из объема за время dt. Знак «+» т.к. масса увеличилась, и знак «-» если масса уменьшается.
В общем случае, за счет изменения плотности, масса вытекающего вещества будет другой, т.к. за время dt может произойти изменение плотности за счет реакций, различных физических превращений, например выделение или поглощение пузырьков газа, таяния льдинок или парафина и т.д.
В этот же промежуток времени в выделенном объеме будет происходить изменение массы вещества.
(2-39)
- масса вещества содержащегося в объеме, в начале рассматриваемого промежутка времени.
- масса вещества содержащегося в объеме, в конце рассматриваемого промежутка времени. Знак «-» т.к. масса уменьшилась, см формулу (2- ) где знак «+», т.е. масса выходящая из объема dV увеличилась.
На основании закона сохранения массы получим
(2-40)
Если раскрыть скобки, сократить, и привести подобные члены то получим следующее уравнение
(2-41)
Начальные условия
Граничные условия
Уравнение (2-41) с начальными и граничными условиями и есть модель рассматриваемого процесса. Начальные условия определяют состояние системы в начальный момент времени, граничные же определяют поведение системы на границах.
Это уравнение известно в гидродинамике как уравнение сплошности (неразрывности).
Таким образом, это запись закона сохранения для движущихся жидкостей. При ρ=const, т.е. для несжимаемых жидкостей уравнение будет иметь следующий вид
(2-42)
Начальные условия
Граничные условия
В случае трехмерного пространства
(2-43)
Начальные условия
Граничные условия
2.3. Модель сепарационной установки
Установка предназначена для отделения газа от нефти, частичного обезвоживания и обессоливания нефти. Установка состоит из двух горизонтальных сепараторов емкостью по 80 м3, связанных параллельно между собой. Технологическая схема установки представлена на рис 10.
Технологическая схема установки
Рис 10.
См - смесь вода, нефть и газ.
Г - газ. Н - нефть. В - вода.
Установка работает следующим образом.Смесь через трубопровод поступает в сепаратор. С целью максимального отделения воды от нефти. Смесь через «гребешки» проходит слой воды, что способствует более эффективному разделению нефти и воды. Отсепарированный газ поступает в газовую магистраль, частично обезвоженная нефть в нефтяную магистраль, а вода в магистраль для воды.
При получении модели будем исходить из следующих допущений и ограничений: объект с сосредоточенными параметрами; режим стационарный; жидкость и газ идеальные; процесс изотермический; потоки ламинарные.
При математическом описании объектов, в которых входными и выходными величинами являются расходы веществ, исходим из уравнения материального баланса основанного на законе сохранения массы вещества. Причем этот закон может применяться как ко всей массе участвующих в процессе веществ, так и к отдельным компонентам.
Примем что, расходы веществ поступающих в объект, считаются положительными, а исходящие из него - отрицательными.
Динамика процесса в таком случае будет описывается следующей замкнутой системой уравнений, которые связывают изменение уровней с расходами по входу и выходу.
Для отдельного сепаратора получим следующую систему уравнений.
,
, (2-45)
.
Где:
А – весовая доля нефти в исходной смеси.
В – весовая доля воды в смеси.
С – весовая доля газа в смеси.
F1 – площадь поперечного сечения внутреннего пространства между нефтью и газом.
F2- площадь поперечного сечения внутреннего пространства между нефтью и водой.
rн – плотность нефти.
rв – плотность воды.
а – коэффициент истечения смеси.
а1 – коэффициент истечения нефти
а2 – коэффициент истечения воды.
b – коэффициент гидравлического сопротивления по газу.
Р0- входное давление.
R- газовая постоянная.
H- высота уровня нефти.
h- высота уровня воды.
Рс- давление в смеси.
Рг, Рв, Рн- выходные давления.
Vг- объем газового пространства.
t- время.
TоC- температура в сепараторе.
Необходимо еще раз отметить, что все переменные в уравнениях (5-45) являются функциями времени (см. подробно об этом раздел 2.1).
Система дифференциальных уравнений нелинейная, но эта нелинейность несущественная, и таким образом нелинейное значение параметров можно линеаризировать в окрестности рабочей точки (см. раздел 2.1, рис 3.). Одним из методов линеаризации является разложение в ряд Тейлора.
Пренебрегая членами второго и более высоких порядков малости получим.
, (2-46)
Аналогично, можно представить, и другие нелинейные члены уравнений (2-45).
где: Ро, Рсо, Рго, Рво, Но, hо – номинальные или расчетные значения этих технологических параметров, есть величины постоянные.
DР, DРс, DРг, DРв, DН, Dh – отклонения от номинального (расчетного) значения технологических параметров.
Подставив выражение (2-46) в систему (2-45), получим.
;
; (2-47)
.
Вычтемпочленно из системы (2-47) систему (2-45) при нулевых начальных условиях (то есть при DР, DРс… равных нулю) получим систему уравнений в отклонениях.
;
; (2-48)
.
После приведения подобных членов получим следующую систему уравнений;
(2-49)
При нулевых начальных условиях, то есть при t=0, Dh=0, DH=0, DPc=0… , преобразуем систему (2-49) по Лапласу.
Пусть d/dt®s (оператор Лапласа), тогда
;
; (2-50 )
.
На основании полученной системы можно определить передаточные функции по каждому каналу и построить структурную схему рассматриваемого технологического процесса.
Из последнего уравнения системы (2-50) получим.
, (2-51)
где
; ; ,
постоянные коэффициенты, которые определяются технологическими параметрами рассматриваемого процесса.
Аналогично получим:
. (2-52)
Из второго уравнения системы получим
, где . (2-53)
, где . (2-54)
, где . (2-55)
Из первого уравнения системы получим
, где . (2-56)
, где . (2-57)
, где . (2-58)
Полученной модели соответствует следующая структурная схема (для одного сепаратора) представленная на рис 11.
Структурная схема технологического объекта.
Рис 11.
Таким образом нами получена математическая модель (см 2-4) и на ее основе структурная схема технологического процесса. (см рисунок 11), на схеме показаны внутренние связи, которые необходимо учитывать при разработке АСУ ТП. Однако, концевая ступень сепарации состоит из двух и более одинаковых сепараторов, имеющие одинаковые технические данные. Поэтому полученная система уравнений , описывающих процессы происходящие в сепараторе, передаточные функции, коэффициенты усиления, постоянные времени других сепараторов будут одинаковы.
Однако, рассматривать структурную схему одного сепаратора, как структурную схему всего объекта нельзя, так как не будет учтена взаимная работа двух и более сепараторов. Поэтому для получения полной модели работы двух и более сепараторов модель необходимо дополнить кроме аналогичных уравнений для других сепараторов еще алгебраическими уравнениями связи между ними, ограничениями, зависящими от режимов работ как каждого сепаратора, так и их совместной работы. Однако, такая модель в настоящей работе не рассматривается.
и для него выписываются уравнения материального баланса.
, 
, и 
. Принимаем стационарность и изотермичность процесса.
. (2-36)
(2-37)
(2-38)
в выделенном объеме будет происходить изменение массы вещества.
(2-39)
(2-40)
Если раскрыть скобки, сократить, и привести подобные члены то получим следующее уравнение
Технологическая схема установки
,
, (2-45)
.
, (2-46)
;
; (2-47)
.
;
; (2-48)
.
(2-49)
;
; (2-50 )
.
, (2-51)
; 
; 
,
. (2-52)
, где 
. (2-53)
, где 
. (2-54)
, где 
. (2-55)
, где 
. (2-56)
, где 
. (2-57)
, где 
. (2-58)
