МОДЕЛИРОВАНИЕ САР С НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Назначение сборника состоит в том, чтобы упростить и ускорить процесс получения справки о назначении и правилах написания той или иной конструкции. Данные об основных конструкциях собраны в виде таблиц или коротких тематических разделов, имеют иерархический порядок нумерации и оглавление. Поиск нужной информации производится значительно быстрее, чем в документации или в учебном пособии - при этом размер сборника составляет всего 10 страниц текста! Сборник содержит только самые основные конструкции, но они вполне достаточны для решения большинства реальных учебных задач - от чисто вычислительных алгоритмов до серьезных задач в области графики и анимации, работы с файлами и указателями.

| главная | конспекты |

РАБОТА 7

МОДЕЛИРОВАНИЕ САР С НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Цели работы:

• освоить понятия и отдельные вопросы, относящиеся к теории 1 автоматического регулирования нелинейных САР (понятия нелинейных динамических звеньев и систем);

• освоить методику моделирования процессов регулирования в1 нелинейных САР с помощью ПК «МВТУ». Последовательность выполнения работы:

• на простейшем демонстрационном примере освоить моделирование переходного процесса нелинейного колебательного!» звена с помощью блока Новый ПК «МВТУ» и приобрести навыки самостоятельной работы;

• по заданному варианту самостоятельно подготовить исходные данные для моделирования нелинейной САР высоты среза рас­тений кукурузоуборочным комбайном и выполнить на компь­ютере все необходимые процедуры.

Теоретический материал, необходимый для выполнения лабора­торной работы.Необходимо владеть понятиями, упомянутыми ра­нее, знать функциональные возможности ПК «МВТУ» и основ­ные этапы работы в его среде. Помимо этого необходимо изучить порядок и процедуры работы с блоком Новый.

Демонстрационный пример.Для нелинейного колебательного звена подготовьте исходные данные и проведите моделирование переходного процесса в такой последовательности:

• с помощью блока Новый ПК «МВТУ» создайте динамическую модель нелинейного колебательного звена,;

• с использованием ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОИ библиотеки (при­ложение А) на основе исходной структурной схемы составьте структурную схему моделирования;

• задайте метод интегрирования;

• задайте максимальный и минимальный шаги интегрирования;

• определите время интегрирования и число точек вывода рас­четных данных;

• задайте точность интегрирования.

Исходные данные. Демонстрационный пример модели­рования переходного процесса нелинейного динамического звена построен применительно к колебательному звену с переменным демпфированием колебаний.

Дифференциальное уравнение, описывающее связь входного и выходного сигналов звена:

где u(t) и y(t) — соответственно входной и выходной сигналы; а₀, а₁, а₂, с, к — по­стоянные коэффициенты.

Демпфирование колебаний изменяется пропорционально ве­личине [1 + cy²(f)].

Произведение обусловливает нелинейность дифференциального уравнения.

Значения параметров: a₀ = 1; a₁ = 0,3; a₂= 1; c=1;k= 1. Вход­ной ступенчатый сигнал u(t) = 0,1...1.Моделирование проводят в среде ПК «МВТУ» по структурной схеме, показанной на рисунке 3.7.1. Формирование динамической Модели Нели-нейного колебательного звена осуществляется по средством блока Новый, позволяющего прямо в процессе работы создавать экземпляры блоков со своими оригинальными матема­тическими моделями.

Демонстрационный пример предназначен для освоения про­цедур работы с блоком

Рис. 3.7.1. Структурная схема моде­лирования переходного процесса не­линейного колебательного звена, изображенная с использованием блоков библиотеки ПК «МВТУ»

Новый. Для вызова справки в ПК «МВТУ» необходимо при инициализированном блоке одновременно нажать клавиши Ctrlи F1или, установив курсор на блок, щелчком правой клавиши «мыши» вызвать «всплывающее» меню блока, в котором щелкнуть левой клавишей «мыши» по строке Свойства, а затем в открывшемся окне щелкнуть левой клавишей «мыши» по кнопке Помощь.

Новый блок функционирует на базе встроенного Интерпрета­тора математических функций. Диалоговое окно этого блока фактически представляет собой окно текстового редактора, в котором пользователь записывает математическую модель в виде, близком к естественной записи. Математическое описание блока соответ­ствует многомерной нелинейной динамической системе в форме Коши:

где f(х, и), g(x, и) — известные нелинейные функции переменных состояния (х₁, х₂, ..., х_п) и входных воздействий (u₁, u ₂, ..., u _п).

Первое из уравнений системы может отсутствовать. В этом случае блок-интерпретатор выполняет алгебраические преобразо­вания входных величин.

Рассмотрим процедуру формирования математической модели динамики нелинейного колебательного звена с использованием блока Новый.

Дифференциальное уравнение (7.1) представим в виде

Описание в форме Коши имеет вид

Тогда

Порядок выполнения. Создание динамической модели нелинейного колебательного звена посредством блока Новый, со­ставление структурной схемы и моделирование переходных про­цессов проводятся в следующей последовательности.

Этап 1 — работа с блоком Новый. После запуска ПК «МВТУ» переместите курсор на кнопку Новыйи сделайте однократный щел­чок левой клавишей «мыши» — откроется чистое Схемное Окно. Переместите курсор на «закладку» Динамические звенья, инициа­лизируйте ее, переместите курсор на блок Новый, однократно щелкните левой клавишей «мыши» и «перенесите» в центр Схем­ного Окна блок Новый.

Сохраните набранную часть задачи с помощью командного ме­ню (Файл, Сохранить как...) в заданном каталоге, в файле с ори­гинальным именем, например koleb_zw.prj(что означает колеба­тельное звено).

В результате выполнения этих операций Схемное Окно примет

вид, показанный на рисунке 3.7.2.

Переместите курсор на блок Новый и двукратно щелкните левой клавишей «мыши» — откроется новое окно Редактор интерпре­татора математических функций, в котором необходимо записать дифференциальные уравнения, соответствующие математической

Рнс. 3.7.2. Главное Схемное Окно с блокомНовый

модели нелинейного колебательного звена (7.3), начальные условия и значения коэффициентов в такой последовательности:

input u; {описание имени и размерности входной величины}

init xl = 0, х2 = 0; {начальные значения динамических пере­менных}

а0 = 1; al = 0.3; а2 = 1; с = 1; к = 1; {значения коэффициентов}

х1' = х2; {4 и 5 строки — дифференциальные уравнения в фор­ме Коши}

х2' = (k/a2)*u - (al/a2)*x2(l + с*х1^2) - (a0/a2)*xl;

output xl; {описание имени и размерности выходной величины}

При записи функциональных зависимостей давать коммента­рии не обязательно. Приводимые комментарии необходимо за­ключать в фигурные скобки.

На рисунке 3.7.3 изображено окно Редактор интерпретатора математических функций, где в текстовом виде задана математи­ческая модель динамики нелинейного колебательного звена. Формат записи очевиден из рисунка.

Первая исполняемая строка обязательно должна содержать опе­ратор input,описывающий входные сигналы в данный блок, включая имя входа и его размерность.

В данном примере первая исполняемая строка (input u;)при­сваивает первому (и единственному) входу уникальное имя и. Ес­ли бы, например, этот блок имел два векторных входа, причем первый вход и — трехжильный, а второй вход g — пятижильный,

Рис. 3.7.3. Главное Схемное Окно с окном Редактор интерпретатора математи­ческих функций

Рис. 3.7.4. Главное Схемное Окно с блоком Новый после ввода математической мо­дели в окно Редактор интерпретатора математических функций

то первая исполняемая строка имела бы вид: input u [3], g [5].Для описания размерности используют прямоугольные скобки.

Если блок Новый описывает динамику объекта моделирования в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши, то вторая исполняемая строка обязательно должна содержать опера­тор init,описывающий начальные условия динамических перемен­ных, для которых далее по тексту записаны обыкновенные диф­ференциальные уравнения в форме Коши.

В данном примере вторая исполняемая строка initxl = 0, х2=0; задает нулевые начальные значения динамических переменных xl и х2.

В третьей исполняемой строке заданы значения коэффициен­тов: а0 = 1; al = 0.3; а2 = 1; с = 1; к = 1; а в четвертой и пятой исполняемых строках — дифференциальные уравнения в форме Коши, где символ апострофа обозначает производную по времени.

Последняя исполняемая строка блока Новый с выходными пор­тами обязательно должна содержать оператор output,описываю­щий выходные сигналы из блока «Новый», включая имена выхо­дов и их размерности.

В этом примере последняя строка (output xl;)описывает один выходной сигнал xl.

После ввода всего текста в окно Редактор интерпретатора ма­тематических функций переместите курсор на кнопку Да и одно­кратно щелкните левой клавишей «мыши» — окно Редактор ин­терпретатора математических функций закроется и откроется Главное Схемное Окно (рис. 3.7.4), в котором «Новый» блок будет иметь один вход и один выход.

Сохраните с помощью командного меню набранную часть зада­чи, однократно щелкнув левой клавишей «мыши» по кнопке Со­хранить.

Рис. 3.7.5. Главное Схемное Окно с введенной структурной схемой моделирования переходных процессов нелинейного колебательного звена в ПК «МВТУ»

Этап 2 — формирование в Схемном Окне структурной схемы мо­делирования (см. рис. 3.7.1). Используя известные процедуры запол­нения Схемного Окна типовыми блоками, проведения линий связи на структурных схемах (см. лабораторную работу 1), дополните Схемное Окно с блоком Новый (см. рис. 3.7.4) необходимыми бло­ками и соедините их согласно исходной структурной схеме (см. рис. 3.7.1).

Сделайте соответствующие надписи на схеме. В результате вы­полнения этапа 2 Главное Схемное Окно должно иметь вид, ана­логичный показанному на рисунке 3.7.5.

Сохраните с помощью командного меню набранную часть задачи, однократно щелкнув левой клавишей «мыши» по кнопке Сохранить.

Этап 3 — ввод параметров структурной схемы. Используя из­вестные процедуры установки параметров блоков, рассмотренные влабораторной работе 1, введите значение ступенчатого входного воз­действия 0,1 (при вводе дробная часть числа отделяется точкой: 0.1).

Этап 4 — моделирование переходного процесса. Переместите курсор на блок График y(t), двукратно щелкните левой клавишей «мыши» — откроется графическое окно. Переместите курсор на командную кнопку Продолжитьи щелкните левой клавишей «мы­ши» — вы запустили демонстрационный пример на счет. В гра­фическом окне в процессе расчета будет отображаться график пе­реходного процесса (рис. 3.7.6). Сделайте надписи на графике.

Сохраните с помощью командного меню задачу, однократно щелкнув левой клавишей «мыши» по кнопке Сохранить.

Этап 5 — анализ результатов моделирования переходного про­цесса. Проведите моделирование переходного процесса при дру­гих значениях (в диапазоне 0,1... 1,0) ступенчатого входного воз­действия, например при 0,5 и 1,0. В результате моделирования должны быть получены графики переходных процессов, анало­гичные графикам, показанным на рисунке 3.7.7.

Рис. 3.7.6. Схемное Окно с графическим окном

Определите логарифмический декремент затухания колебаний (см. раздел 1) при различных значениях ступенчатого входного воздействия.

Логарифмический декремент затухания колебаний рекоменду­ется вычислять не по графикам переходных процессов, а по зна­чениям y(t), вызвав в графическое окно таблицу с результатами расчетов. Для этого после моделированияпереходного процесса перемес­тите курсор в центральную часть графического окна и однократно щелкните правой клавишей «мыши» — появится командное меню графического окна, в котором однократно щелкните левой клави­шей мыши по строке Список. Вместо графика появится таблица с результатами расчета переходного процесса. Механизм прокрут­ки позволяет последовательно просмотреть в графическом окне всю таблицу.

Рис. 3.7.7. Графики переходных процессов нелинейного колебатель­ного звена при ступенчатом входном воздействии 0,1 (в), 0,5 (б) и 1,0 (в)

Для возвращения к графику следует повторить указанные операции.

Определите тенденцию изменения логарифмического декре­мента затухания колебаний при увеличении ступенчатых вход­ных воздействий.

Индивидуальное задание.Его выполняют на базе САР высоты среза растений кукурузоуборочным комбайном. Отличие этой САР (рис. 3.7.8) от САР, рассмотренной в лабораторной работе 5, заключается в том, что остов комбайна представленв виде нели­нейного колебательного звена.

Дифференциальное уравнение δH₀= f(X”_n), описывающее связь входного и выходного сигналов звена «Остов комбайна», имеет вид:

Рис. 3.7.8. Структурная схема САР с нелинейным динамическим звеном «Остов комбайна»:

W_м(p), W_τ(p), W_ц(p), W_шт(p), W_ж(p), W_д(p) — передаточные функции звеньев сие- , темы; НЭ — нелинейный элемент; δH₀= f(X”_n) — нелинейное дифференциальное уравнение колебаний остова комбайна (колебаний зысоты среза δH₀) от регулирующих воздействий САР; Н₃ и H_д — заданная и действительная высота среза; δH— сигнал рассогласования; Х_м — входной сигнал гидрораспределителя; Y_p — изменение ширины рабочих окон гидрораспределителя; Y_p(t — τ) — выходной сигнал звена чистого запаздывания; Х_ц, Х_ц, Х_ц — перемещение, скорость и ускорение штоков гидроцилиндров; H_ж — изменение высоты среза исполнительным органом

где а₀, а₁, а₂, с, к — постоянные коэффициенты, зависящие от параметров звена «Остов комбайна»; у (t) = δH₀ (t) — колебание высоты среза δH₀ от регулирующих воздействий САР (выходной сигнал); u(t) = X_u(t)— ускорение штоков гидроци­линдров (входной сигнал).

В дифференциальном уравнении, описывающем динамиче­ские свойства звена «Остов комбайна», слагаемым csign : учитывается (дополнительно к модели, рассмот-ренной в демонстра­ционном примере) влияние сил сухого трения (в пятне контакта колес комбайна с почвой) на демпфирование продольно-угловых колебаний комбайна, а следовательно, и колебаний высоты среза растений. Как известно, силы сухого трения направлены против вектора скорости, что определяется знаковой функцией sign , которая обусловливает нелинейность дифференциального уравнения. Коэффициент с характеризует значение сил су­хого трения.

Значения параметров звена «Остов комбайна»:

Значения Т₁ ,Т₂² , k₀ взяты из таблицы 3.5.3 (ЛР №5). Значения парамет­ров остальных звеньев САР такие же, как в демонстрационном примере, рассмотренном в лабораторной работе 5.

На основе структурной схемы (см. рис. 3.7.8) для заданного ва­рианта (см. табл. 3.5.2 и 3.5.3) подготовьте исходные данные для компьютерного моделирования САР:

определите парамет­ры интегрирования (шаг и время интегрирования) и число точек выдачи данных, задайте метод интегрирования.

По аналогии с демонстрационным примером выполните ком­пьютерное моделирование САР и по графику переходного про­цесса оцените ее качество. Исследуйте влияние коэффициента передачи шарнирно-рычажного механизма k_м на показатели пе­реходного процесса при положительных и отрицательных сту­пенчатых задающих воздействиях Н₃, равных ±0,05; ±0,1; ±0,15 м. Определите границу устойчивости системы и выберите рациональное значение коэффициента, обеспечивающее необ­ходимое качество САР. Определите параметры автоколебаний системы при коэффициентах передачи, превышающих критиче­ское значение.

Содержание отчета. Вотчете должны быть структурная схема САР; структурная схема ее моделирования; математическая мо­дель нелинейного динамического звена в виде уравнений Коши, подготовленная для записи в блок Новый ПК «МВТУ»; числовые данные, необходимые для работы в среде ПК «МВТУ»; график пе­реходного процесса; результаты оценки качества системы; выво­ды по работе.

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое нелинейное динамическое звено САР? 2. Что такое нелинейная САР? 3. Каковы назначение и возможности блока Новый ПК «МВТУ» при моде­лировании нелинейных САР? 4. Составьте структурную схему моделирования пе­реходного процесса нелинейного динамического звена с помощью блока Новый ПК «МВТУ». 5. Составьте структурную схему моделирования нелинейной САР высоты среза растений кукурузоуборочным комбайном. 6. Каков принцип работы САР высоты среза растений кукурузоуборочным комбайном? 7. Почему САР вы­соты среза растений является нелинейной? 8. Какие исходные данные необходимы ₍ для моделирования САР в среде ПК «МВТУ»?