Доказательство соответствия (адекватности) полученной математической модели (уравнения регрессии) исследуемому объекту

Задание на курсовой проект

«Составление уравнения регрессии технологического процесса»

Вариант №

Для изучения влияния некоторых технологических факторов на исследуемый процесс были поставлены эксперименты по схеме полного факторного эксперимента для двух входных факторов на двух уровнях.

Требуется построить уравнение регрессии, учитывая все взаимодействия факторов, проверить значимость коэффициентов для уравнения регрессии (со статистической надежностью 95%), проверить полученную модель на адекватность и произвести ее интерпретацию.

Таблица 1. Значения выходных показателей y.

Решение

Составление исходной матрицы планирования по схеме полного факторного эксперимента для двух входных факторов на двух уровнях.

Чтобы рассчитать математическую модель, составим план проведения эксперимента.

По условию задания рассмотрим полный факторный эксперимент для двух входных факторов на двух уровнях.

Число опытов в полном факторном эксперименте определяется по формуле:

,

где N – число опытов;

k – число изучаемых входных факторов.

Значит, число опытов для двух входных факторов будет равно:

.

Таким образом, необходимо провести 4 опыта.

Составим матрицу планирования полного факторного эксперимента для двух входных факторов (на двух уровнях).

Таблица 2 - План эксперимента

№ опыта	Условное обозначение уровней изменения входных факторов
	-1	-1
	+1	-1
	-1	+1
	+1	+1

Уравнение регрессии при проведении полного факторного эксперимента для двух входных факторов имеет вид:

,

где - среднее арифметическое значение выходного показателя во всех опытах; - характеризует влияние входного фактора на выходной показатель ; - характеризует влияние входного фактора на выходной показатель ; - характеризует влияние парного взаимодействия входных факторов и на выходной показатель .

Найдем значение коэффициентов по формулам:

,

,

где - значение выходного показателя в i - ом опыте (i = 1, 2,…N); N - число опытов в плане эксперимента; - значение фактора в i - ом опыте.

Расширение и преобразование исходной (заданной) матрицы планирования

Для удобства подсчета всех коэффициентов в_j составим расширенную матрицу планирования (табл. 2).

Таблица 2 - Расширенная матрица планирования.

№ опыта
	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	-1	-1
	+1	-1	+1	-1
	+1	+1	+1	+1

Найдем коэффициенты «в_j» с помощью формул:

Для удобства воспользуемсяся матричной записью

Для :

∙ = .

Для :

∙ = .

Для :

∙ = .

Для :

∙ = .

Следовательно, полная математическая модель имеет вид:

.

3. Значимость коэффициентов уравнения регрессии (статистическая надежность 95%)

Проверим существенности влияния (значимости)коэффициентов для уравнения регрессии (со статистической надежностью 95%).

Проверка существенности влияния (значимости) коэффициентов «b_j» для уравнения регрессии проводит с помощью t - критерия Стьюдента по формуле:

где t_j- критерий Стьюдента для «b_j» коэффициента; «b_j» - коэффициент уравнения;

S_в- показатель, характеризующий ошибку в определении коэффициентов «b_j» и определяемый по формуле:

где S_у – стандартное отклонение, характеризующее погрешность результатов измерений выходного показателя у (величина была определена ранее S_у =2); N – число опытов в плане эксперимента (N=4).

Найдем : .

Рассчитаем опытные значения критерия Стьюдента t_{jопытное} по формуле :

Находим критерий Стьюдента каждого коэффициента.

Если величина t_опыт. меньше величины t_табл., то соответствующий коэффициент «в_j» можно считать незначимым и им можно пренебречь в уравнении регрессии.

Если величина t_опыт. больше величины t_табл., то соответствующий коэффициент «в_j» можно считать значимым и его нужно учитывать в уравнении.

Для уравнения значимости р = 0,05; P = 0,95; f = ; t _табл. (f) = .

Сравним величины t_{2 опытное} с величиной t _табл. (приложение 1) (t _табл. = ).

Таким образом, путем обработки результатов эксперимента методом регрессионного анализа и после проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии (с помощью t – критерия Стьюдента) была получена математическая модель.

Уравнение регрессии в окончательном виде:

Доказательство соответствия (адекватности) полученной математической модели (уравнения регрессии) исследуемому объекту

Докажем соответствие (адекватность) полученной математической модели (уравнения регрессии) исследуемому объекту путем расчета величины F - критерия Фишера

Дисперсия адекватности (или остаточная дисперсия)

где l - число коэффициентов в уравнении регрессии (при линейной регреcсии l = 2),

Сведем полученные расчетные значения выходного показателя в табл. 3.

Таблица 3 - Расчетные значения выходного показателя.

Дисперсия воспроизводимости найдена ранее:

S_y =

=

Полученное значение сравниваем с F_табл, которое находим по таблице №2 приложения, задаваясь статистической надежностью р = 95% и учитывая величины f₁ и f₂.

Определим табличное значение F_табл. по таблице 2 приложения, задаваясь статической надежностью ρ = 95% и учитывая величину

f₁ = N - l = 4 -……=……