При рассмотрении физической системы как объекта исследования или проектирования целесообразно распределить все переменные, характеризующие систему, или имеющие к ней какое-либо отношение на три множества:
1) Входные переменные, характеризующие внешнее воздействие на входы системы.
2) Переменные состояния - внутренние (промежуточные) переменные, совокупность которых полностью характеризует свойства системы.
3) Выходные переменные, представляющие реакцию системы на внешние воздействия и те состояния системы, которые представляют интерес для исследователя.
Собственно система, её входы и выходы - это три взаимосвязанных объекта, которые в каждом конкретном случае однозначно описывают систему. В зависимости от того, какой из объектов подлежит определению при остальных двух заданных различают три типа задач исследования проектирования: анализ, синтез и измерения. Решение любой из этих задач связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний.
Переменными состояниями динамической системы является минимальный набор переменных или чисел, содержащих информацию о предыстории системы, достаточную для полного определения её поведения в настоящий и будущий момент времени при известных возмущениях, воздействующих в настоящий момент. Они выбираются так, чтобы имели физический смысл.
Выбор переменных состояний не является однозначным, т.е. разные наборы переменных состояний дают разные описания одного объекта. Уравнения, описывающие поведение системы и определяющие всю вышеуказанную информацию, называются уравнениями состояния.
Непрерывную детерминированную систему в каждый момент времени можно записать парой матричных уравнений:
1) Уравнение состояния системы:
2) Уравнение выхода:
Эти уравнения в зависимости от свойств системы принимают специфическую форму. Для линейных систем уравнения преобразуются так:
3) Уравнение состояния системы:
4) Уравнение выхода:
Получим уравнения состояния и её выходов для устройства, показанного на рис. 2.1.
Рисунок 2.1 - Структурная схема устройства
Используя метод контурных токов, составляем систему уравнений:
(2.1)
Из третьего и четвёртого уравнений системы (2.1) выражаем токи I1(p) и I2(p) через ток I3(p):
(2.2)
(2.3)
Подставляем найденные токи во второе уравнение системы:
(2.4)
Теперь можем получить передаточную функцию:
(2.5)
Перейдём от передаточной функции W(p) (2.5) к дифференциальному уравнению:
(2.6)
откуда получаем дифференциальное уравнение:
или
(2.7)
где
Полученное дифференциальное уравнение является математической моделью и описывает поведение анализируемого устройства. Решим эту математическую модель с использованием метода пространства состояний.
Уравнение (2.7) является дифференциальным уравнением третьего порядка. Приведём его к уравнениям первого порядка и решим их систему.
Выражаем дифференциальное уравнение (2.7) относительно старшей производной:
(2.8)
Осуществляем цепочку замен:
Пусть ,
тогда
I
Формируем структурную схему, где операцию интегрирования обозначим с помощью интегратора .
На следующем этапе анализа системы составляем строки для подпрограммы, реализующей метод Рунге-Кутта, осуществляем запуск программы и получаем результат в виде числового и графического материала.
Для анализа системы зададимся в исходном случае следующими значениями сопротивления и ёмкости:
R=10Ом; С=0,02Ф.
Тогда коэффициенты в матрице (2.11) будут иметь следующие значения:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.7)
(2.8)
,
Формируем структурную схему, где операцию интегрирования обозначим с помощью интегратора .
(2.11)